Serie di Laurent(deformazione cammino)
Salve !
Ho fatto l'esame poco tempo fa, m' è rimasto ancora qualche conto in sospeso.
Dagli appunti so che :
Considerando un punto $z=z_0$, singolare per una funzione $f(z)$ che sia però olomorfa ovunque in un dominio $ Gamma $ ,
delimitato da due circonferenze concentriche $gamma_1$ e $gamma_2$, centrate in $z_0$ con raggio rispettivamente $r_(1,2)$,
la funzione è ancora rappresentabile come una serie di potenze di $z-z_0$, in un intorno opportuno di ogni punto $z$ di $ Gamma $,
ma la serie contiene in questo caso sia potenze positive che negative, in formule:
$ f(z)=1/(2pii)=sum_(k = \-oo) ^(+oo)d_k(z-z_0)^k $
In pratica devo mostrare che
$ d_k=oint_(gamma) (f(z))/((z-z_0)^(k+1))dz $ con $k=0,+-1,+-2,...$
essendo $gamma$ una qualsiasi curva chiusa,
circondante il punto di singolarità e tutta contenuta nella regione di analiticità di $f(z)$
Ora il dominio considerato non è semplicemente connesso, il suo contorno risulta formato da queste due circonferenze.
Qui sta il punto, credo. Mi sembra di ricordare di poter deformare $gamma$ con continuità come voglio, rimanendo nel dominio.
Non riesco(più) ad immaginarmi come deformare $gamma$ per arrivare poi spezzare il tutto nella somma dei due integrali su $gamma_1$ e $gamma_2$.
Nel caso ci fosse bisogno posso postare anche il disegno del tutto.
Ho fatto l'esame poco tempo fa, m' è rimasto ancora qualche conto in sospeso.
Dagli appunti so che :
Considerando un punto $z=z_0$, singolare per una funzione $f(z)$ che sia però olomorfa ovunque in un dominio $ Gamma $ ,
delimitato da due circonferenze concentriche $gamma_1$ e $gamma_2$, centrate in $z_0$ con raggio rispettivamente $r_(1,2)$,
la funzione è ancora rappresentabile come una serie di potenze di $z-z_0$, in un intorno opportuno di ogni punto $z$ di $ Gamma $,
ma la serie contiene in questo caso sia potenze positive che negative, in formule:
$ f(z)=1/(2pii)=sum_(k = \-oo) ^(+oo)d_k(z-z_0)^k $
In pratica devo mostrare che
$ d_k=oint_(gamma) (f(z))/((z-z_0)^(k+1))dz $ con $k=0,+-1,+-2,...$
essendo $gamma$ una qualsiasi curva chiusa,
circondante il punto di singolarità e tutta contenuta nella regione di analiticità di $f(z)$
Ora il dominio considerato non è semplicemente connesso, il suo contorno risulta formato da queste due circonferenze.
Qui sta il punto, credo. Mi sembra di ricordare di poter deformare $gamma$ con continuità come voglio, rimanendo nel dominio.
Non riesco(più) ad immaginarmi come deformare $gamma$ per arrivare poi spezzare il tutto nella somma dei due integrali su $gamma_1$ e $gamma_2$.
Nel caso ci fosse bisogno posso postare anche il disegno del tutto.
Risposte
Scusate avevo dimenticato il teorema integrale di Cauchy 
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