Serie di Laurent: Singolarità

[Zeus87]

Salve a tutti

Volevo alcune spiegazioni sulla serie di Laurent.

Una volta che ho trovato per esempio un polo di secondo ordine, vorrei sapere la funzione h(z) da che cosa è data

Ovvero:

f(z) = h(z)/(z - z0)^N

h(z) che cos'è?

[Lorenzo Pantieri]

Una funzione $f(z)$ ha un polo del second'ordine in $a$ se si può scrivere $f(z)=\frac{h(z)}{(z-a)^2}$, dove $h$ è olomorfa in $a$ e $h(a)\ne 0$. Lo sviluppo in serie di Laurent nell'intorno di $a$, che in generale si scrive $f(z)=\sum_{-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n$, nel caso di $a$ polo del second'ordine si arresta al termine $c_{-2}$.

Ciao,
L.

[Zeus87]

Ciao

Si fin la k...ma h(z) da che cosa è data?

Per esempio nel libro la funzione f(z) = (z - sin z)/z^5

e leggo che la funzione h(z) = (z - sin z)/z^3

come è arrivato a questo?

leggo che nel formulario f(z) = h(z)/(z - z0)^N

[Lorenzo Pantieri]

"Zeus87":Ciao
Per esempio nel libro la funzione f(z) = (z - sin z)/z^5

e leggo che la funzione h(z) = (z - sin z)/z^3

come è arrivato a questo?

leggo che nel formulario f(z) = h(z)/(z - z0)^N

Sostituisci lo sviluppo di Taylor di $\sin z$ in $f$. Svolgi i semplici calcoli e ti rendi subito conto che la funzione ha un polo del second'ordine nell'origine (visto che lo sviluppo in serie di Laurent si arresta al coefficiente $c_{-2}$). A questo punto sai che $f(z)=\frac{h}{z^2}$ e ricavi $h$.

Ciao,
L.

[Zeus87]

Si...io però volevo sapere proprio come si ricava h...ti sei bloccato proprio sulla spiegazione che mi serviva

[Lorenzo Pantieri]

"Zeus87":Si...io però volevo sapere proprio come si ricava h...ti sei bloccato proprio sulla spiegazione che mi serviva

Ahem... visto che sai che $f(z)=\frac{h}{z^2}$, allora $h=z^2 f(z)$. Tutto qui!

[Zeus87]

Maremma bona maiala -.-

k capito -.-

GRAZIE MILLE!!!

[Zeus87]

Vorrei chiederti un'altra cosa...

Per trovare i poli si deve sviluppare sempre la serie di laurent oppure esistono metodo più semplici?