Serie di Laurent -help
Potete darmi una mano a risolvere questo esercizio? Si tratta di uno sviluppo in serie di laurent per la funzione $1/[(z+1)(z-2)^2] $centrata in z= 0 e convergente in z=1+i
Ho cercato le singolarità che sono z=-1 Polo di ordine 1 e z=2 polo di ordine 2. A questo punto ho ritenuto necessario scomporre la funzione in fratti e non so se è corretto come ho fatto io in quanto al denominatore ho un polo semplice ed uno di molteplicità due.Mi sono comportta così
$f(z)= A/(z+1) + B/(z-2) +C/(z-2)^2
A=Res(f, -1) =1/9
B=Res (f, 2) =-1
C=Res( f * (z-2), 2) =1
facendo la prova del nove già mi viene in mente di aver sbagliato il calcolo dei residui..potete aiutarmi? Se è giusto aggiungo poi il resto dell'esercizio ( sul quale ho molte perplessità)..Help!! grazie in anticipo!
Ho cercato le singolarità che sono z=-1 Polo di ordine 1 e z=2 polo di ordine 2. A questo punto ho ritenuto necessario scomporre la funzione in fratti e non so se è corretto come ho fatto io in quanto al denominatore ho un polo semplice ed uno di molteplicità due.Mi sono comportta così
$f(z)= A/(z+1) + B/(z-2) +C/(z-2)^2
A=Res(f, -1) =1/9
B=Res (f, 2) =-1
C=Res( f * (z-2), 2) =1
facendo la prova del nove già mi viene in mente di aver sbagliato il calcolo dei residui..potete aiutarmi? Se è giusto aggiungo poi il resto dell'esercizio ( sul quale ho molte perplessità)..Help!! grazie in anticipo!
Risposte
A è corretto.
Quindi immagino che l'errore su C sia solo di calcolo.
Quindi immagino che l'errore su C sia solo di calcolo.
$C =lim_( -> <2>)(z-2)* 1/[(z-1)*(z-2)] = 1$ dici che è sbagliato?
$B=lim_( -> <2>) d/dz {(z-2)^2 * 1/ [(z-2)^2 *(z-1)]} = - 1/(2-1) = -1 $
quindi $ f(z) = 1/[9(z+1)]- 1/(z-2) + 1/(z-2)^2
$B=lim_(
quindi $ f(z) = 1/[9(z+1)]- 1/(z-2) + 1/(z-2)^2
"matematicam":
$C =lim_(-> <2>)(z-2)* 1/[(z-1)*(z-2)] = 1$ dici che è sbagliato?
ehhm ma non c'era $(z+1)$ al denominatore ?
$C =lim_(
stesso discorso per $B$ (che dovrebbe venire $-\frac1 9$)
Cito dal post iniziale:
$f(z) = 1/[(z+1)(z-2)^2] $
$f(z)= A/(z+1) + B/(z-2) +C/(z-2)^2
A=Res(f, -1) =1/9
C si calcola allo stesso modo di A, ovvero:
$f(z)= A/(z+1) + B/(z-2) +C/(z-2)^2$
$f(z) (z-2)^2 = (A(z-2)^2)/(z+1) + B(z-2) +C$
Ora fai il limite per z che tende a 2.
$f(z) = 1/[(z+1)(z-2)^2] $
$f(z)= A/(z+1) + B/(z-2) +C/(z-2)^2
A=Res(f, -1) =1/9
C si calcola allo stesso modo di A, ovvero:
$f(z)= A/(z+1) + B/(z-2) +C/(z-2)^2$
$f(z) (z-2)^2 = (A(z-2)^2)/(z+1) + B(z-2) +C$
Ora fai il limite per z che tende a 2.
Ecco dov'era l'errore! Avevo fatto due esercizi simili e ho sbagliato a scrivere il testo nel calcolo di B e C!Grazie mille! Adesso devo sviluppare i 3 termini in serie di Luarent centrate in z=0? Oppure mi conviene sviluppare direttamente la funzione non decomposta in fratti ?
"matematicam":
Ecco dov'era l'errore! Avevo fatto due esercizi simili e ho sbagliato a scrivere il testo nel calcolo di B e C!Grazie mille! Adesso devo sviluppare i 3 termini in serie di Luarent centrate in z=0? Oppure mi conviene sviluppare direttamente la funzione non decomposta in fratti ?
Non ho ben capito cosa devi fare. Ti serve lo sviluppo di Laurent in $z=0$ (e cioè lo sviluppo di Taylor) ? Se è così probabilmente è utile la riduzione in fratti semplici, dato che
puoi usare gli sviluppi di Taylor di $(1+x)^\alpha$, in particolare
$(1+x)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n$ e $(1+x)^{-2}=-\sum_{n=1}^\infty(-1)^n n x^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n (n+1) x^{n}$.
E cosa devi fare poi con $z=1+i$ ?
con z=1+i non devo farci nulla nel senso che mi si chiede che sia convergente in quella zona. In pratica gli esercizi che ho visto sono svolti tutti in questo modo. Si trovano le singolarità e sul piano si vanno a disegnare delle circonferenze che individuano i vari domini ( centrate in questo caso in z=0). In questo caso ho -1 e 2 come singolarità, quindi 3 domini centrati in z=0 che determinano una corona circolare. La zona in cui si chiede ci sia convergenza è quella in cui cade z=1+i vale a dire la zona della corona circolare di raggio minore 1 e raggio maggiore 2.
Forse ho capito. Data la funzione $f(z)$ in esame risultano definiti $R_1=1$ (la distanza tra zero e $-1$) e $R_2=2$ (la distanza tra zero e $2$) e tre regioni (aperte):
$C_1$ il cerchio di centro zero e raggio $1$
$C_2$ la corona circolare di centro zero, raggio interno $1$ e raggio esterno $2$
$C_3$ il complementare del cerchio di centro zero e raggio $2$
In $C_1$ $f(z)$ ha uno sviluppo in serie di Taylor
In $C_2$ e $C_3$ $f(z)$ ha degli sviluppi in serie di Laurent.
Tu devi trovare lo sviluppo nella regione che contiene $1+i$, giusto?
E cioè lo sviluppo in $C_1$ - a questo punto devo pensarci un momento per capire qual è il metodo più breve.
Credo comunque che la riduzione in fratti semplici aiuti; ci vorranno lo sviluppo di Taylor di $\frac{1}{(z-2)}$ e $\frac{1}{(z-2)^2}$ nel cerchio di raggio $2$, e lo sviluppo di Laurent di
$\frac{1}{(z+1)}$ fuori dal cerchio di raggio $1$.
$C_1$ il cerchio di centro zero e raggio $1$
$C_2$ la corona circolare di centro zero, raggio interno $1$ e raggio esterno $2$
$C_3$ il complementare del cerchio di centro zero e raggio $2$
In $C_1$ $f(z)$ ha uno sviluppo in serie di Taylor
In $C_2$ e $C_3$ $f(z)$ ha degli sviluppi in serie di Laurent.
Tu devi trovare lo sviluppo nella regione che contiene $1+i$, giusto?
E cioè lo sviluppo in $C_1$ - a questo punto devo pensarci un momento per capire qual è il metodo più breve.
Credo comunque che la riduzione in fratti semplici aiuti; ci vorranno lo sviluppo di Taylor di $\frac{1}{(z-2)}$ e $\frac{1}{(z-2)^2}$ nel cerchio di raggio $2$, e lo sviluppo di Laurent di
$\frac{1}{(z+1)}$ fuori dal cerchio di raggio $1$.
si esatto, però lo lviluppo che mi viene chiesto non è in C1 ma in C2.. andando a disegnare , 1+ i cade nel secondo dominio no?quindi è la serie di laurent.
Sì scusa era $C_2$.
Premesso che non so bene cosa sai e cosa devi usare io farei così.
Prima di tutto mi ricavo alcuni sviluppi, partendo dalla serie geometrica:
$\frac{1}{z+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n$, da cui derivando
$\frac{d}{dz}\frac{1}{z+1}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n nz^{n-1}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{(z+1)^2}=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n nz^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (n+1)z^{n}$. (volendo si può andare avanti ma non ci serve).
Queste serie convergono per $|z|<1$
Dalle serie sopra si ha, dato $z_0\ne0$,
$\frac{1}{z+z_0}=\frac{1}{z_0}\frac{1}{z/z_0+1}=\frac{1}{z_0}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z/z_0)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z_0^{n-1}}z^n$ per $|z|<|z_0|$ e
$\frac{1}{(z+z_0)^2}=\frac{1}{z_0^2}\frac{1}{(z/z_0+1)^2}=\frac{1}{z_0^2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)(z/z_0)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)}{z_0^{n-2}}z^n$ sempre per $|z|<|z_0|$
$\frac{1}{z+z_0}=\frac{1}{z}\frac{1}{\frac{z_0}{z}+1}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(\frac{z_0}{z})^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z_0^n}{z^{n+1}}=\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{(-1)^{n+1}}{z_0^{n+1}}z^n$ per $|z|>|z_0|$.
Tutte queste sono formule generali. Nel tuo caso ricavi: (con $z_0=1$ e $z_0=-2$)
$\frac{A}{z+1}+\frac{B}{z-2}+\frac{C}{(z-2)^2}=-A\sum_{n=-\infty}^{-1}(-1)^{n}z^n-B\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n-1}}z^n+C\sum_{n=0}^\infty\frac{n+1}{2^{n-2}}z^n$ per $1<|z|<2$,
se non ho sbagliato qualche calcolo ....
Premesso che non so bene cosa sai e cosa devi usare io farei così.
Prima di tutto mi ricavo alcuni sviluppi, partendo dalla serie geometrica:
$\frac{1}{z+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n$, da cui derivando
$\frac{d}{dz}\frac{1}{z+1}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n nz^{n-1}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{(z+1)^2}=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n nz^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (n+1)z^{n}$. (volendo si può andare avanti ma non ci serve).
Queste serie convergono per $|z|<1$
Dalle serie sopra si ha, dato $z_0\ne0$,
$\frac{1}{z+z_0}=\frac{1}{z_0}\frac{1}{z/z_0+1}=\frac{1}{z_0}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z/z_0)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z_0^{n-1}}z^n$ per $|z|<|z_0|$ e
$\frac{1}{(z+z_0)^2}=\frac{1}{z_0^2}\frac{1}{(z/z_0+1)^2}=\frac{1}{z_0^2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)(z/z_0)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+1)}{z_0^{n-2}}z^n$ sempre per $|z|<|z_0|$
$\frac{1}{z+z_0}=\frac{1}{z}\frac{1}{\frac{z_0}{z}+1}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(\frac{z_0}{z})^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z_0^n}{z^{n+1}}=\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{(-1)^{n+1}}{z_0^{n+1}}z^n$ per $|z|>|z_0|$.
Tutte queste sono formule generali. Nel tuo caso ricavi: (con $z_0=1$ e $z_0=-2$)
$\frac{A}{z+1}+\frac{B}{z-2}+\frac{C}{(z-2)^2}=-A\sum_{n=-\infty}^{-1}(-1)^{n}z^n-B\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n-1}}z^n+C\sum_{n=0}^\infty\frac{n+1}{2^{n-2}}z^n$ per $1<|z|<2$,
se non ho sbagliato qualche calcolo ....
wow mi sei stato di grandissimo aiuto. Ho provato a ricondurre alle serie note i 3 pezzi ottenendo dei risultati un po' diversi, adesso controllo per bene prima di postare, che sicuramente c'è qualche errore. Quindi in pratica dopo aver scomposto la funzione data si riconducono i singoli pezz
i a serie note. Per esempio la serie geometrica che converge per z minore di 1. Si fa qualche giochetto matematico per ottenere una ragione minore di uno. E dove al denominatore invece di $ 1/(z-1)$ ho$ 1/(z+1)$ mi riconduco alla serie a termini alterni che ha il famoso $(-1)^n$. Cerco di controllare tutti i passaggi! grazie mille ancora!!!!!!
i a serie note. Per esempio la serie geometrica che converge per z minore di 1. Si fa qualche giochetto matematico per ottenere una ragione minore di uno. E dove al denominatore invece di $ 1/(z-1)$ ho$ 1/(z+1)$ mi riconduco alla serie a termini alterni che ha il famoso $(-1)^n$. Cerco di controllare tutti i passaggi! grazie mille ancora!!!!!!
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