Serie di Laurent $f(z)=\frac{2z}{z^{2}-1}$

[poncelet]

Determinare i possibili sviluppi di Laurent della funzione [tex]$f(z)=\frac{2z}{z^{2}-1}$[/tex] centrati in [tex]$z=i$[/tex]
Lo svolgimento dice che la funzione [tex]$f$[/tex] ha due poli (semplici) in [tex]$z=\pm 1$[/tex] e fin qui tutto ok. Poi dice: avremo quindi uno sviluppo (di Taylor) nel cerchio [tex]$\lvert z-i \rvert < \sqrt{2}$[/tex] ed uno sviluppo (di Laurent) al suo esterno, cioè per [tex]$\lvert z-i \rvert > \sqrt{2}$[/tex]. Vorrei sapere come ha determinato tali cerchi in cui calcolare gli sviluppi.

[_prime_number]

Se disegni il cerchio indicato ed evidenzi i due poli, ti accorgerai che in [tex]|z-i|<\sqrt{2}[/tex] la funzione è analitica, dunque ha uno sviluppo di Taylor.

Paola

[alle.fabbri]

Ciao, scusate se spoilero la soluzione ma è un sacco che non tocco le serie di Laurent e vorrei avere una conferma...

[tex]\displaystyle{\frac{2z}{z^2-1}} = \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle{-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i+1)^{n+1} + (i-1)^{n+1}}{2^n} (z-i)^n } \qquad , \qquad |z-i| < \sqrt{2}\\
\, \\
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left[ (i+1)^n + (i-1)^n \right] \frac{1}{(z-i)^{n+1}} } \qquad , \qquad |z-i| > \sqrt{2}
\end{array}
\right.[/tex]

[poncelet]

"prime_number":Se disegni il cerchio indicato ed evidenzi i due poli, ti accorgerai che in [tex]|z-i|<\sqrt{2}[/tex] la funzione è analitica, dunque ha uno sviluppo di Taylor.

Paola

Scusa se la domanda ti parrà stupida, ma se per esempio avessi scelto un cerchio centrato in [tex]$(0,1)$[/tex] ma con raggio inferiore sarebbe andato bene lo stesso? In sostanza mi interesserebbe capire il ragionamento che avrei dovuto fare una volta determinate le singolarità della funzione.

[Camillo]

Il centro dello sviluppo $(0,1)$ dista $sqrt(2)$ dai due poli $(+-1,0 )$ . Con due duifferenti sviluppi rappresenti la funzione a seconda che la distanza di cui sopra sia appunto $ > $ oppure $< $ $sqrt(2)$.
Se avessi scelto un raggio inferiore ti saresti inutilmente autolimitato : spingi il raggio al massimo che puoi fino a "sfiorare" i poli....

[poncelet]

Ok adesso ho capito. Vorrei però verificare di aver compreso i concetti generali. Allora se mi viene richiesto di determinare lo sviluppo in serie di Laurent di una funzione senza specificare in quale insieme devo prima determinarne e classificarne le singolarità, successivamente indicare il cerchio in cui la funzione risulta analitica e poi calcolare gli sviluppi (di Taylor o di Laurent)?