Serie di Laurent $\frac{e^z}{sinz}$
Devo calcolare i primi 4 termini della serie di Laurent centrata in [tex]$z=0$[/tex] della funzione
[tex]$f(z)=\frac{e^{z}}{\sin(z)}$[/tex]
Ho provato a determinare separatamente gli sviluppi delle due funzioni:
[tex]$e^{z}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}$[/tex]
e
[tex]$\sin(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}z^{2k+1}$[/tex]
ma non so come continuare.
[tex]$f(z)=\frac{e^{z}}{\sin(z)}$[/tex]
Ho provato a determinare separatamente gli sviluppi delle due funzioni:
[tex]$e^{z}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}$[/tex]
e
[tex]$\sin(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}z^{2k+1}$[/tex]
ma non so come continuare.
Risposte
Io, dopo aver sviluppato $senz$, raccoglierei $z$ e svilupperei $1/(1+...)$.
Quindi, svilupperei [tex]$\sin(z)$[/tex] solamente nei primi due termini dovendo poi moltiplicare per lo sviluppo di [tex]$e^{z}$[/tex]:
[tex]$\sin(z)=z-\frac{z^{3}}{6}$[/tex]
Quindi
[tex]$\frac{1}{\sin(z)}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{z^{2}}{6}}$[/tex]
A questo punto come devo procedere?
[tex]$\sin(z)=z-\frac{z^{3}}{6}$[/tex]
Quindi
[tex]$\frac{1}{\sin(z)}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{z^{2}}{6}}$[/tex]
A questo punto come devo procedere?
Potresti utilizzare lo sviluppo di [tex]$\frac{1}{1-t}[/tex].
Un fatto basilare sulle serie di potenze è il seguente:
Nel nostro caso, avendo messo [tex]$z$[/tex] in evidenza a denominatore, rimane una serie del tipo:
[tex]$1-\tfrac{1}{6} z^2+\tfrac{1}{120}z^4+\ldots +\tfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n}+\ldots$[/tex]
che ha il primo termine non nullo e coefficienti:
[tex]$b_n:=\begin{cases} \frac{(-1)^{h}}{(2h+1)!} &\text{, se $n=2h$} \\ 0 &\text{, se $n=2h+1$} \end{cases}$[/tex];
il teorema precedente assicura che la serie ha per somma una funzione dotata di reciproco; si vede facilmente che i coefficienti delle potenze dispari nello sviluppo della funzione reciproca sono nulli, mentre i primi coefficienti delle potenze pari sono dati da:
[tex]$\beta_0=1,\ \beta_2= \tfrac{1}{6},\ \beta_4=\tfrac{7}{360},\ \beta_6= \tfrac{31}{15120}$[/tex].
Sia [tex]$\sum_n b_n z^n$[/tex] una serie di potenze con r.d.c. non nullo.
Se [tex]$b_0\neq 0$[/tex] allora la somma [tex]$f(z)$[/tex] è invertibile e la sua funzione reciproca, i.e. [tex]$\tfrac{1}{f(z)}$[/tex], si può sviluppare in serie di potenze [tex]$\sum_n \beta_n z^n$[/tex], con coefficienti:
[tex]$\begin{cases} \beta_0 =\frac{1}{b_0} \\ \beta_n = -\frac{1}{b_0} \sum_{i=1}^n b_i \beta_{n-i}\end{cases}$[/tex].
Nel nostro caso, avendo messo [tex]$z$[/tex] in evidenza a denominatore, rimane una serie del tipo:
[tex]$1-\tfrac{1}{6} z^2+\tfrac{1}{120}z^4+\ldots +\tfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n}+\ldots$[/tex]
che ha il primo termine non nullo e coefficienti:
[tex]$b_n:=\begin{cases} \frac{(-1)^{h}}{(2h+1)!} &\text{, se $n=2h$} \\ 0 &\text{, se $n=2h+1$} \end{cases}$[/tex];
il teorema precedente assicura che la serie ha per somma una funzione dotata di reciproco; si vede facilmente che i coefficienti delle potenze dispari nello sviluppo della funzione reciproca sono nulli, mentre i primi coefficienti delle potenze pari sono dati da:
[tex]$\beta_0=1,\ \beta_2= \tfrac{1}{6},\ \beta_4=\tfrac{7}{360},\ \beta_6= \tfrac{31}{15120}$[/tex].
Vediamo se ho capito bene:
[tex]$\frac{1}{\sin(z)}=\frac{1}{z}(1+\frac{1}{6}z^{2}+\frac{7}{360}z^{4}+...)$[/tex]
Per trovarmi i primi quattro termini dello sviluppo di Laurent della funzione originaria a questo punto devo fare la seguente moltiplicazione:
[tex]$(1+z+\frac{1}{2}z^{2}+\frac{1}{6}z^{3})(\frac{1}{z}(1+\frac{1}{6}z^{2}+\frac{7}{360}z^{4}))=z^{-1}+1+\frac{2}{3}z+\frac{1}{}z^{2}+\frac{37}{360}z^{3}+\frac{7}{360}z^{4}+\frac{7}{720}z^{5}+\frac{7}{1960}z^{6}$[/tex]
e dovendo determinare solo i primi quattro termini il risultato dovrebbe essere:
[tex]$\frac{e^{z}}{\sin(z)}=z^{-1}+1+\frac{2}{3}z+\frac{1}{3}z^{2}$[/tex]
[tex]$\frac{1}{\sin(z)}=\frac{1}{z}(1+\frac{1}{6}z^{2}+\frac{7}{360}z^{4}+...)$[/tex]
Per trovarmi i primi quattro termini dello sviluppo di Laurent della funzione originaria a questo punto devo fare la seguente moltiplicazione:
[tex]$(1+z+\frac{1}{2}z^{2}+\frac{1}{6}z^{3})(\frac{1}{z}(1+\frac{1}{6}z^{2}+\frac{7}{360}z^{4}))=z^{-1}+1+\frac{2}{3}z+\frac{1}{}z^{2}+\frac{37}{360}z^{3}+\frac{7}{360}z^{4}+\frac{7}{720}z^{5}+\frac{7}{1960}z^{6}$[/tex]
e dovendo determinare solo i primi quattro termini il risultato dovrebbe essere:
[tex]$\frac{e^{z}}{\sin(z)}=z^{-1}+1+\frac{2}{3}z+\frac{1}{3}z^{2}$[/tex]
Devi considerare anche termini d'indice più alto nello sviluppo dell'esponenziale.
Infatti, ad esempio, il coefficiente di [tex]$z^2$[/tex] nella serie di [tex]$\tfrac{e^z}{\sin z}$[/tex] si ottiene moltiplicando i termini [tex]$1,\ z^3$[/tex] della serie di [tex]$e^z$[/tex] per i termini [tex]$z^2,\ \tfrac{1}{z}$[/tex] dell'altra serie.
Infatti, ad esempio, il coefficiente di [tex]$z^2$[/tex] nella serie di [tex]$\tfrac{e^z}{\sin z}$[/tex] si ottiene moltiplicando i termini [tex]$1,\ z^3$[/tex] della serie di [tex]$e^z$[/tex] per i termini [tex]$z^2,\ \tfrac{1}{z}$[/tex] dell'altra serie.
Giusto. Ho corretto. Grazie mille.
Una domanda per Gugo: non avevo mai visto quel teorema che mi hai suggerito. Dove posso reperirlo?
Una domanda per Gugo: non avevo mai visto quel teorema che mi hai suggerito. Dove posso reperirlo?
Sul Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables.
Grazie (trovato su Google Books).
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