Serie di Laurent esercizio

[claudio_p88]

\(\displaystyle f(z)=\frac{\cos(z)}{z^2}+\frac{z-1}{z+5} \) lo sviluppo di Laurent di tale funzione mi è venuto \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n)}{(2n)!}z^{2n-2} +\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{n+1}}{5^{n+1}}-\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^n}{5^{n+1}}\), ora quello che vorrei sapere è come faccio a calcolare il residuo in \(\displaystyle z_0 = 0 \), che so essere un polo di ordine 2, inoltre se io volessi scrivere i primi quattro termini della parte regolare come dovrei procedere? E qual'è la parte singolare?

[Paolo902]

Suppongo che tu voglia lo sviluppo di Laurent centrato in $z_0 = 0$.

Il pezzo con il coseno mi pare giusto; come hai ricavato l'altro pezzo? Io ho una strada in mente che credo porti a una notevole semplificazione; mi stupiscono quindi gli ultimi due addendi.

Ad ogni modo, riguardo le tue domande: che cos'è il residuo di una funzione in un punto? Conosci le definizioni? E di parte singolare e regolare?

Una volta scritto lo sviluppo, l'esercizio è praticamente finito: sapendo le definizioni, resta da fare solo qualche minimo conticino.

[claudio_p88]

l'altro pezzo è stato ricavato grazie allo sviluppo della serie armonica, inoltre quale sarebbe il tuo procedimento per semplificare ? per quanto riguarda la definizione di residuo so che \(\displaystyle {R}{e}{s}{\left({f{;}}{z}_{{0}}\right)}=\frac{{1}}{{{\left({k}-{1}\right)}!}}\cdot\lim_{{{z}\to{z}_{{0}}}}\frac{{{\text{d}}^{{{k}-{1}}}}}{{\text{d}{{z}}^{{{k}-{1}}}}}{\left[{{\left({z}-{z}_{{0}}\right)}}^{{k}}\cdot{f{{\left({z}\right)}}}\right]} \), solo che non riesco a calcolarmelo e ti sarei grato se mi mostrassi i passaggi, per quanto riguarda la parte regolare e la parte singolare della serie sono un po' confuso grazie per l'aiuto

[claudio_p88]

sì, comunque per lo sviluppo intendo centrato in 0, inoltre se hai un po' di materiale teorico o qualche link ti sarei grato se me li inviassi

[claudio_p88]

ragazzi qualche aiuto per favore...

[walter891]

quella è la formula del residuo senza passare dalle serie... in questo caso devi sapere che il residuo è il coefficiente dello sviluppo in serie con $n=-1$

[claudio_p88]

quindi andando a sostituire \(\displaystyle n = -1 \) mi trovo il residuo?

[gugo82]

Devi determinare il coefficiente di \(z^{-1}\) nell'espansione in serie.

[claudio_p88]

VI sarei grato se mi mostrasse i passaggi perchè io non so da dove iniziare, Gugo se hai del materiale pdf ti sarei grato di inviarmi il link grazie mille comunque.

[sgnurlo]

Ma quello che stanno cercando di dirti è che non ci sono passaggi da fare! Devi solo guardare il coefficiente di $1/z$ nello sviluppo in serie di Laurent (per definizione di residuo).

[claudio_p88]

ok, io ho tre sommatorie, \(\displaystyle (\frac{1}{z} \) è nella prima sommatoria, ma non è proprio \(\displaystyle \frac{1}{z} \)è \(\displaystyle \frac{1}{z^2} \) è questo che mi crea dei dubbi cosa devo fare? se è così semplice cortesemente potreste scriverlo.

[sgnurlo]

Esatto! Il termine $1/z$ non c'è e quindi il suo coefficiente è 0.

[claudio_p88]

ok, ora ho capito grazie mille