Serie di Laurent di esponenziale

[Faber92]

Salve a tutti,
sto preparando metodi matematici per l'ingegneria e sono alle prime prese con le serie di Laurent, le quali mi causano diversi problemi.
Devo espandere in serie la seguente funzione $f(z)=exp(z/(z-3))$ attorno a z=3 ma non riesco.
Ho pensato di espandere in serie di Taylor $exp(z)$ e poi sostituire a z l'argomento della funzione ma giungo ad un risultato errato.
Qualcuno saprebbe darmi qualche dritta?

Grazie.

[gugo82]

La singolarità in \(z=3\) è essenziale ed isolata; quindi lo sviluppo di Laurent deve necessariamente contenere infinite potenze negative di \(z-3\).

Innanzitutto, guarda l'esponente: evidentemente si ha:
\[
\frac{z}{z-3} = \frac{z-3+3}{z-3}=1+\frac{3}{z-3}
\]
quindi:
\[
\exp \left( \frac{z}{z-3} \right) = \exp \left( 1+\frac{3}{z-3} \right) = e\ \exp \left( \frac{3}{z-3} \right)\; .
\]
Dato che \(e^w\) ha uno sviluppo in serie di Taylor notissimo, hai certamente:
\[
\exp \left( \frac{z}{z-3} \right) = e\ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ w^n \Bigg|_{w=\frac{3}{z-3}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{e\ 3^n}{n!}\ \frac{1}{(z-3)^n}\; .
\]

[Faber92]

Grazie mille!!! Non avevo pensato a riscrivere l'esponente come per altro si fa di solito quando bisogna espandere qualche rapporto di polinomi.