Serie di Laurent
Ciao a tutti... avrei bisogno di una mano...
Ho la funzione seguente e devo calcolarne i residui...
\(\displaystyle f(z) = \frac{e^\frac{1}{z}}{sinz} \)
Che tipo di singolarità è \(\displaystyle z=0 \) ?
Avevo pensato di sviluppare in Serie di Laurent, ma trovo alcune difficoltà nello sviluppo...
\(\displaystyle f(z)=
\frac{(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}+\cdots )}{(z-\frac{z^3}{6}+\frac{z^5}{5!}+\cdots )}=
\frac{(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}+\cdots )}{z(1-\frac{z^2}{6}+\frac{z^4}{5!}+\cdots )}=
\frac{(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}+\cdots )}{z(1-\frac{z^2}{6}+\frac{z^4}{5!}+\cdots )}= \)
e qui, vedendo \(\displaystyle \frac{1}{1-(\frac{z^2}{6}-\frac{z^4}{5!}+\cdots )} \) come serie geometrica,
verificando che converga e abbia modulo minore di 1, potrei passare a scriverla come sotto:
\(\displaystyle
=\frac{1}{z}(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}+\cdots )\sum_{k=0}^{\infty}(1-\frac{z^2}{6}+\frac{z^4}{5!}+\cdots )^k= \)
Prima domanda.... fin qui è tutto corretto? Perchè poi inizierebbero altri problemi....
Grazie
Ho la funzione seguente e devo calcolarne i residui...
\(\displaystyle f(z) = \frac{e^\frac{1}{z}}{sinz} \)
Che tipo di singolarità è \(\displaystyle z=0 \) ?
Avevo pensato di sviluppare in Serie di Laurent, ma trovo alcune difficoltà nello sviluppo...
\(\displaystyle f(z)=
\frac{(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}+\cdots )}{(z-\frac{z^3}{6}+\frac{z^5}{5!}+\cdots )}=
\frac{(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}+\cdots )}{z(1-\frac{z^2}{6}+\frac{z^4}{5!}+\cdots )}=
\frac{(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}+\cdots )}{z(1-\frac{z^2}{6}+\frac{z^4}{5!}+\cdots )}= \)
e qui, vedendo \(\displaystyle \frac{1}{1-(\frac{z^2}{6}-\frac{z^4}{5!}+\cdots )} \) come serie geometrica,
verificando che converga e abbia modulo minore di 1, potrei passare a scriverla come sotto:
\(\displaystyle
=\frac{1}{z}(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}+\cdots )\sum_{k=0}^{\infty}(1-\frac{z^2}{6}+\frac{z^4}{5!}+\cdots )^k= \)
Prima domanda.... fin qui è tutto corretto? Perchè poi inizierebbero altri problemi....
Grazie
Risposte
Ciao sto studiando anche io per l'esame di metodi e proprio oggi ho cominciato a studiare le serie di Laurent 
anche se forse qui tu intendevi sviluppare la funzione con Mac Laurin xD. Comunque credo che quella sia una singolarità non eliminabile e quindi per calcolare lo sviluppo di Laurent dovresti porla nella seguente maniera: $f(z)=S(z)+O(z)$ cioè dovresti considerare parte singolare e parte olomorfa. Purtroppo non posso aiutarti più di tanto perchè non so nemmeno ancora calcolare gli sviluppi di Laurent.
P.S. se ho scritto qualche stupidaggine ti prego di perdonarmi xD
anche se forse qui tu intendevi sviluppare la funzione con Mac Laurin xD. Comunque credo che quella sia una singolarità non eliminabile e quindi per calcolare lo sviluppo di Laurent dovresti porla nella seguente maniera: $f(z)=S(z)+O(z)$ cioè dovresti considerare parte singolare e parte olomorfa. Purtroppo non posso aiutarti più di tanto perchè non so nemmeno ancora calcolare gli sviluppi di Laurent. P.S. se ho scritto qualche stupidaggine ti prego di perdonarmi xD
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