Serie di laurent
ciao a tutti diciamo che sono in confusione totale.considerando la funzione:
$f(z) = 1 / [(z+1)(z+3)]$
una cosa che non riesco a capire leggendo i libri è questa:
a seconda dell'insieme considerato possiamo avere solo uno sviluppo di taylor o una serie di laurent completa o solo una serie di termini a potenze negative..
MI potete spiegare che tipo di serie e perchè nei seguenti intervalli?
$| z | < 1$
$ 1<|z|<3$
$|z|>3$.
$f(z) = 1 / [(z+1)(z+3)]$
una cosa che non riesco a capire leggendo i libri è questa:
a seconda dell'insieme considerato possiamo avere solo uno sviluppo di taylor o una serie di laurent completa o solo una serie di termini a potenze negative..
MI potete spiegare che tipo di serie e perchè nei seguenti intervalli?
$| z | < 1$
$ 1<|z|<3$
$|z|>3$.
Risposte
Ma hai provato a calcolare la sviluppabilità?
La funzione data si può facilmente trasformare nella somma di due fratti semplici, ok ?
Si ottiene $ 1/((z+1)(z+3))= (1/2)/(z+1) -(1/2)/(z+3) $
Considero il primo termine ( poi il discorso è analogo ) che riscrivo così : $ 1/(1-(-z)) $ ( trascuro adesso il fattore $1/2$ )
Se $| z | < 1 $allora quel termine è la somma di una serie geometrica di ragione $-z $ e si potrà riscrivere come somma della serie infinita $ 1-z+z^2 +.... =sum_(n=0)^(+oo) (-z)^n $ .
Se invece $|z| > 1 $ allora devo far apparire $1/z $ che avrà modulo minore di 1.
Come ? cosi $1/(1+z )= (1/z) *1/[1+(1/z)] $ e adesso al denominatore ho il risultatao della somma di una serie convergente di ragione $ -1/z$ che posso ancora sviluppare appunto in serie così :$ (1/z) *1/[1+(1/z)] = (1/z)*1/[1-(-1/z)] = (1/z)* sum_(n=0)^(+oo)(-1/z)^n= (1/z)[1-1/z+1/z^2-1/z^3+.....]= 1/z -1/z^2 +1/z^3+....... $
Il secondo termine $1/(z+3)$ converrà riscriverlo come $1/(3(1+z/3) $ e quindi a seconda che $|z | < 1 $ oppure $|z | > 1 $ si avrà uno sviluppo oppure un altro.
Dovrai quindi distingure i 3 casi : $ |z | < 1 ; 1<|z| < 3 ; |z| > 3 $
Si ottiene $ 1/((z+1)(z+3))= (1/2)/(z+1) -(1/2)/(z+3) $
Considero il primo termine ( poi il discorso è analogo ) che riscrivo così : $ 1/(1-(-z)) $ ( trascuro adesso il fattore $1/2$ )
Se $| z | < 1 $allora quel termine è la somma di una serie geometrica di ragione $-z $ e si potrà riscrivere come somma della serie infinita $ 1-z+z^2 +.... =sum_(n=0)^(+oo) (-z)^n $ .
Se invece $|z| > 1 $ allora devo far apparire $1/z $ che avrà modulo minore di 1.
Come ? cosi $1/(1+z )= (1/z) *1/[1+(1/z)] $ e adesso al denominatore ho il risultatao della somma di una serie convergente di ragione $ -1/z$ che posso ancora sviluppare appunto in serie così :$ (1/z) *1/[1+(1/z)] = (1/z)*1/[1-(-1/z)] = (1/z)* sum_(n=0)^(+oo)(-1/z)^n= (1/z)[1-1/z+1/z^2-1/z^3+.....]= 1/z -1/z^2 +1/z^3+....... $
Il secondo termine $1/(z+3)$ converrà riscriverlo come $1/(3(1+z/3) $ e quindi a seconda che $|z | < 1 $ oppure $|z | > 1 $ si avrà uno sviluppo oppure un altro.
Dovrai quindi distingure i 3 casi : $ |z | < 1 ; 1<|z| < 3 ; |z| > 3 $
@Camillo: Grazie per avermi evitato i conti. 
Una volta tanto li ho fatti io.... 
@ gadesh : tutto chiaro ? chiedi se non lo è .
@ gadesh : tutto chiaro ? chiedi se non lo è .
ciao camillo scusa il ritardo..innanzitutto ti ringrazio per l'attenzione.
Allora in effetti ho tante domande:
1) supponendo di dover sviluppare nell'intervallo $|z|<1$,in pratica si tratta di sviluppare entrambi i termini e di sommarli?(probabilmente questa è una domanda poco intelligente)
2)POi il modo di procedere...ad esempio perchè in questo esercizio hai scelto la strada della riduzione in termini semplici ,per poi svilupparli entrambi,mentre ad esempio ho visto un esercizio del genere:
$f(z) = 1 / (z(z-1))$ in $0<|z|<1$ risolto in questa maniera...
$f(z) = -1/(z) 1/(1-z) = -1/z (1+z+z^2 +....)$ con $|z|<1$ e $1/|z| < infty$ e quindi $|z|>0$
in cui evidentemente si opera in maniera diversa...cioè si sviluppa solo il fattore $1/(1-z)$ lasciando l'altro inalterato..anche questo fatto non l'ho capito molto bene devo mmettere...
comunque se mi potessi dare delle indicazioni per vederci piu chiaro potrei finalmente fare un passo avanti e andare piu spedito..
Allora in effetti ho tante domande:
1) supponendo di dover sviluppare nell'intervallo $|z|<1$,in pratica si tratta di sviluppare entrambi i termini e di sommarli?(probabilmente questa è una domanda poco intelligente)
2)POi il modo di procedere...ad esempio perchè in questo esercizio hai scelto la strada della riduzione in termini semplici ,per poi svilupparli entrambi,mentre ad esempio ho visto un esercizio del genere:
$f(z) = 1 / (z(z-1))$ in $0<|z|<1$ risolto in questa maniera...
$f(z) = -1/(z) 1/(1-z) = -1/z (1+z+z^2 +....)$ con $|z|<1$ e $1/|z| < infty$ e quindi $|z|>0$
in cui evidentemente si opera in maniera diversa...cioè si sviluppa solo il fattore $1/(1-z)$ lasciando l'altro inalterato..anche questo fatto non l'ho capito molto bene devo mmettere...
comunque se mi potessi dare delle indicazioni per vederci piu chiaro potrei finalmente fare un passo avanti e andare piu spedito..
1) Per sviluppare nel cerchio $|z | < 1$ la funzione $f(z)$ conviene trasformarla così : $f(z)= 1/((z+1)(z+3)) =(1/2)/(1+z) –(1/2)/(3+z) =(1/2)/(1-(-z)) –(1/2)/(3(1-(-z/3))) =(1/2)/(1-(-z)) –(1/6)/(1-(-z/3))$.
I due addendi sono il risultato, di due serie geometriche di ragione $(-z) $ e $ (-z/3)$ rispettivamente : infatti le “ragioni “ hanno modulo $< 1 $ e le serie convergono quindi.
Le serie si esprimono quindi come $f(z)= ½ sum_(n=0)^(+oo) (-z)^n –1/6 sum_(n=0)^(+oo) (-z)^n/3^n $ sviluppo che si può senz’altro rendere più conciso.
In questo caso lo sviluppo di Laurent della $f(z) $ si riduce a quello di Taylor (Mc Laurin) : si ha solo parte regolare e manca la parte singolare ( cioè quella con esponente di $z $ $ < 0 $).
2) Nel caso di $f(z)= -1/z *1/(1-z) $ si sviluppa solo il fattore $ 1/(1-z) $ , il termine $-1/z $ è già “sviluppato”e vale $-z^(-1) $.Abbiamo quindi una serie di Laurent con un solo elemento singolare.
Tornando alla $f(z ) $ iniziale considero il caso $|z| > 3 $.
Così come scritti i due addendi non sono la somma di due serie geometriche in quanto le serie geometriche appunto convergono se e solo se il modulo della “ragione” è $< 1 $ .
E’ allora opportuno riscrivere così $ f(z)= 1/(2z) 1/(1+(1/z)) –1/(2z) 1/(1+(3/z)).
Adesso le espressioni $1/(1+(1/z)) $ e $ 1/(1+(3/z))$ sono la somma di due serie geometriche convergenti di ragione rispettivamente $ -1/z $ e $ -3/z $ ed entrambe con modulo $< 1 $ : siamo infatti nel caso $ |z| > 3 $ cioè nel cerchio più esterno.
Lo sviluppo sarà pertanto$ (1/2z) sum_(n=0)^(+oo) (-1/z)^n –(1/(2z)) sum_(n=0)^(+oo) (-3/z)^n $ ed è formato da termini tutti con esponente negativo.Lo sviluppo di Laurent non ha quindi termini regolari ma solo singolari.
Nel caso intermedio $ 1 < |z| <3 $ converrà trasformare la $f(z) $ come $f(z)= (1/(2z)) 1/(1+(1/z))-(1/6) 1/(1+(z/3))$ somme di serie geometriche convergenti di ragione $ -1/z ; -z/3 $ in quanto entrambe le ragioni sono in modulo $ < 1 $.
In questo caso si hanno sia elementi regolari che singolari.
OK ?
I due addendi sono il risultato, di due serie geometriche di ragione $(-z) $ e $ (-z/3)$ rispettivamente : infatti le “ragioni “ hanno modulo $< 1 $ e le serie convergono quindi.
Le serie si esprimono quindi come $f(z)= ½ sum_(n=0)^(+oo) (-z)^n –1/6 sum_(n=0)^(+oo) (-z)^n/3^n $ sviluppo che si può senz’altro rendere più conciso.
In questo caso lo sviluppo di Laurent della $f(z) $ si riduce a quello di Taylor (Mc Laurin) : si ha solo parte regolare e manca la parte singolare ( cioè quella con esponente di $z $ $ < 0 $).
2) Nel caso di $f(z)= -1/z *1/(1-z) $ si sviluppa solo il fattore $ 1/(1-z) $ , il termine $-1/z $ è già “sviluppato”e vale $-z^(-1) $.Abbiamo quindi una serie di Laurent con un solo elemento singolare.
Tornando alla $f(z ) $ iniziale considero il caso $|z| > 3 $.
Così come scritti i due addendi non sono la somma di due serie geometriche in quanto le serie geometriche appunto convergono se e solo se il modulo della “ragione” è $< 1 $ .
E’ allora opportuno riscrivere così $ f(z)= 1/(2z) 1/(1+(1/z)) –1/(2z) 1/(1+(3/z)).
Adesso le espressioni $1/(1+(1/z)) $ e $ 1/(1+(3/z))$ sono la somma di due serie geometriche convergenti di ragione rispettivamente $ -1/z $ e $ -3/z $ ed entrambe con modulo $< 1 $ : siamo infatti nel caso $ |z| > 3 $ cioè nel cerchio più esterno.
Lo sviluppo sarà pertanto$ (1/2z) sum_(n=0)^(+oo) (-1/z)^n –(1/(2z)) sum_(n=0)^(+oo) (-3/z)^n $ ed è formato da termini tutti con esponente negativo.Lo sviluppo di Laurent non ha quindi termini regolari ma solo singolari.
Nel caso intermedio $ 1 < |z| <3 $ converrà trasformare la $f(z) $ come $f(z)= (1/(2z)) 1/(1+(1/z))-(1/6) 1/(1+(z/3))$ somme di serie geometriche convergenti di ragione $ -1/z ; -z/3 $ in quanto entrambe le ragioni sono in modulo $ < 1 $.
In questo caso si hanno sia elementi regolari che singolari.
OK ?
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