Serie di Laurent
Sto studiando le serie di Laurent (in particolare sul Greene-Krantz). Ad un certo punto dice che la serie di Laurent:
[tex]$\sum_{n=-\infty}^{50}2^{n}(z+i)^{n}$[/tex]
converge assolutamente per [tex]$\lvert z+i \rvert > 1/2$[/tex]
Io lo dimostrerei cosi:
poniamo
[tex]$w=(z+i)^{-1}$[/tex]
la serie diventa
[tex]$\sum_{n=-50}^{+\infty}2^{-n}w^{n}$[/tex]
il cui raggio di convergenza è [tex]$\frac{1}{\lim_{n->\infty}\lvert \frac{1}{2^{n}} \rvert^{1/n}}=2$[/tex]
Quindi essa converge per [tex]$w<2$[/tex].
Sulla frontiera del cerchio di convergenza la serie diventa: [tex]$\sum_{n=-50}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}2^{n}=\sum_{n=-50}^{\infty}1$[/tex] dunque diverge.
Tornando alla serie originaria [tex]$\frac{1}{\lvert z+i \rvert}<2 \Rightarrow \lvert z+i \rvert > \frac{1}{2}$[/tex]
Sulla circonferenza [tex]$\lvert z+i \rvert=\frac{1}{2}$[/tex] la serie diverge così come diverge anche nel disco [tex]$D(-i, \frac{1}{2})$[/tex]. E' giusto?
P.S. forse è banale ma essendo ai primi esercizi voglio essere sicuro. Grazie.
[tex]$\sum_{n=-\infty}^{50}2^{n}(z+i)^{n}$[/tex]
converge assolutamente per [tex]$\lvert z+i \rvert > 1/2$[/tex]
Io lo dimostrerei cosi:
poniamo
[tex]$w=(z+i)^{-1}$[/tex]
la serie diventa
[tex]$\sum_{n=-50}^{+\infty}2^{-n}w^{n}$[/tex]
il cui raggio di convergenza è [tex]$\frac{1}{\lim_{n->\infty}\lvert \frac{1}{2^{n}} \rvert^{1/n}}=2$[/tex]
Quindi essa converge per [tex]$w<2$[/tex].
Sulla frontiera del cerchio di convergenza la serie diventa: [tex]$\sum_{n=-50}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}2^{n}=\sum_{n=-50}^{\infty}1$[/tex] dunque diverge.
Tornando alla serie originaria [tex]$\frac{1}{\lvert z+i \rvert}<2 \Rightarrow \lvert z+i \rvert > \frac{1}{2}$[/tex]
Sulla circonferenza [tex]$\lvert z+i \rvert=\frac{1}{2}$[/tex] la serie diverge così come diverge anche nel disco [tex]$D(-i, \frac{1}{2})$[/tex]. E' giusto?
P.S. forse è banale ma essendo ai primi esercizi voglio essere sicuro. Grazie.
Risposte
Occhio agli indici ballerini...
Inoltre, per analizzare il comportamento sul cerchio di convergenza puoi pensare di usare il teorema di Picard.
Inoltre, per analizzare il comportamento sul cerchio di convergenza puoi pensare di usare il teorema di Picard.
"gugo82":
Occhio agli indici ballerini...
Inoltre, per analizzare il comportamento sul cerchio di convergenza puoi pensare di usare il teorema di Picard.
Ho cercato di sistemare gli indici, spero che adesso vadano bene. Se non capisco male siamo in presenza dello sviluppo in serie di Laurent di una funzione che ha una singolarità essenziale in [tex]$z=-i$[/tex]. Il teorema di Picard dice che "Una funzione olomorfa nell'intorno di una singolarità essenziale assume, infinite volte, qualsiasi valore complesso eccetto al più uno."
Intendevi questo? Come posso utilizzarlo?
Non quello sulle singolarità, ma quest'altro sulle serie di potenze:
Insomma, nelle ipotesi poste, la serie [tex]\sum a_nz^n[/tex] converge certamente in [tex]$\{ z\in \mathbb{C}:\ |z|\leq 1\}\setminus \{ 1\}$[/tex]; in particolare, converge in [tex]$-1$[/tex], quindi ritrovi l'usuale criterio di convergenza di Leibniz per le serie a segno alterno (del quale il teorema di Picard può essere considerato una generalizzazione).
Sia[tex]\sum a_nz^n[/tex] una serie di potenze a coefficienti reali.
Se la successione dei coefficienti [tex]$(a_n)$[/tex] è decrescente ed infinitesima, allora [tex]\sum a_nz^n[/tex] converge in tutti i punti del cerchio unitario chiuso, eccezion fatta al più per il punto [tex]$\zeta=1$[/tex] (detto punto eccezionale di Picard).
Insomma, nelle ipotesi poste, la serie [tex]\sum a_nz^n[/tex] converge certamente in [tex]$\{ z\in \mathbb{C}:\ |z|\leq 1\}\setminus \{ 1\}$[/tex]; in particolare, converge in [tex]$-1$[/tex], quindi ritrovi l'usuale criterio di convergenza di Leibniz per le serie a segno alterno (del quale il teorema di Picard può essere considerato una generalizzazione).
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