Serie di Laurent
Salve. Sono nuovo.
Ho dei problemi con la serie di Laurent.
Questo è l'esercizio:
Sviluppare in serie di Laurent la funzione $ f(z) = 1 / (z+1+i) $ intorno al punto w = 2+2i nelle corone 0<|z-w|<|3+3i| e |3+3i|<|z-w|< $ oo $ .
Vi prego aiutatemi! Grazie!
Ho dei problemi con la serie di Laurent.
Questo è l'esercizio:
Sviluppare in serie di Laurent la funzione $ f(z) = 1 / (z+1+i) $ intorno al punto w = 2+2i nelle corone 0<|z-w|<|3+3i| e |3+3i|<|z-w|< $ oo $ .
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Risposte
Vedo che sei nuovo... Benvenuto! 
Ora però mi permetto di raccomandarti caldamente la lettura di questo avviso e di regolarti di conseguenza.
Grazie.
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"gugo82":
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scusa, non ho ben capito quale sia il problema: forse non sono stato chiaro su quale sia il mio problema. O forse non ho provato a risolverlo.
Il problema però è che non so proprio cosa devo fare per risolverlo. Non so da dove iniziare.
Per tutto il resto del programma di Metodi Matematici sono abbastanza preparato, ma le serie di Laurent proprio non riesco a capirle.
Vi sarei grato se qualcuno mi spiegasse l'esercizio. Grazie.
Ti ho segnalato l'avviso perchè, in linea generale, è sempre meglio che un utente segnali i propri tentativi di soluzione prima di chiedere aiuto; questo sia perchè chi risponde perde meno tempo a far conti, sia perchè fa capire lungo quali direzioni ci si può muovere...
Analogamente, se chi chiede aiuto non ha idea di cosa fare, fa bene a segnalarlo esplicitamente, così chi risponde sa di dover cominciare da zero.
***
L'idea è quella di ricondursi alla serie geometrica [tex]\sum \lambda^n[/tex], con un'opportuna scelta di [tex]$\lambda$[/tex].
In questo caso hai una cosa del tipo:
[tex]$f(z)=\frac{1}{z-\alpha}$[/tex]
che "è parente" alla somma della serie geometrica già di suo; quello che devi riuscire a fare è far comparire in qualche modo [tex]$w$[/tex] al denominatore e portare il tutto a qualcosa che sia la somma di una serie geometrica.
Ad esempio puoi fare così:
[tex]$f(z)=\frac{1}{(z-w)-(\alpha -w)}$[/tex]...
Però ora ti si parano davanti due strade: per avvicinarti alla somma di una serie geometrica puoi operare in due modi:
- il primo è mettere in evidenza [tex]$-(\alpha -w)$[/tex] e scrivere:
(*) [tex]$f(z)=\frac{1}{w-\alpha}\ \frac{1}{1-\frac{z-w}{\alpha -w}}$[/tex];
- il secondo è mettere in evidenza [tex]$z-w$[/tex] ottenendo:
(**) [tex]$f(z)=\frac{1}{z-w}\ \frac{1}{1-\frac{\alpha -w}{z-w}}$[/tex].
Ricordato che [tex]$\frac{1}{1-\lambda} =\sum_{n=0}^{+\infty} \lambda^n$[/tex] quando e solo quando [tex]$|\lambda|<1$[/tex], vedi che le frazioni che figurano come secondi fattori nei prodotti in (*) e (**) si possono pensare come somma di due serie geometriche: in particolare:
[tex]$\frac{1}{1-\frac{z-w}{\alpha -w}} =\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{z-w}{\alpha -w}\right)^n$[/tex] e [tex]$\frac{1}{1-\frac{\alpha -w}{z-w}} =\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{\alpha -w}{z-w} \right)^n$[/tex]
le quali, rispettivamente, convergono non appena risulti:
[tex]$\left| \frac{z-w}{\alpha -w} \right| <1$[/tex] e [tex]$\left| \frac{\alpha -w}{z-w} \right|<1$[/tex].
Prova ad applicare queste considerazioni al tuo caso e vedi cosa riesci a trarne.
Analogamente, se chi chiede aiuto non ha idea di cosa fare, fa bene a segnalarlo esplicitamente, così chi risponde sa di dover cominciare da zero.
***
L'idea è quella di ricondursi alla serie geometrica [tex]\sum \lambda^n[/tex], con un'opportuna scelta di [tex]$\lambda$[/tex].
In questo caso hai una cosa del tipo:
[tex]$f(z)=\frac{1}{z-\alpha}$[/tex]
che "è parente" alla somma della serie geometrica già di suo; quello che devi riuscire a fare è far comparire in qualche modo [tex]$w$[/tex] al denominatore e portare il tutto a qualcosa che sia la somma di una serie geometrica.
Ad esempio puoi fare così:
[tex]$f(z)=\frac{1}{(z-w)-(\alpha -w)}$[/tex]...
Però ora ti si parano davanti due strade: per avvicinarti alla somma di una serie geometrica puoi operare in due modi:
- il primo è mettere in evidenza [tex]$-(\alpha -w)$[/tex] e scrivere:
(*) [tex]$f(z)=\frac{1}{w-\alpha}\ \frac{1}{1-\frac{z-w}{\alpha -w}}$[/tex];
- il secondo è mettere in evidenza [tex]$z-w$[/tex] ottenendo:
(**) [tex]$f(z)=\frac{1}{z-w}\ \frac{1}{1-\frac{\alpha -w}{z-w}}$[/tex].
Ricordato che [tex]$\frac{1}{1-\lambda} =\sum_{n=0}^{+\infty} \lambda^n$[/tex] quando e solo quando [tex]$|\lambda|<1$[/tex], vedi che le frazioni che figurano come secondi fattori nei prodotti in (*) e (**) si possono pensare come somma di due serie geometriche: in particolare:
[tex]$\frac{1}{1-\frac{z-w}{\alpha -w}} =\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{z-w}{\alpha -w}\right)^n$[/tex] e [tex]$\frac{1}{1-\frac{\alpha -w}{z-w}} =\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{\alpha -w}{z-w} \right)^n$[/tex]
le quali, rispettivamente, convergono non appena risulti:
[tex]$\left| \frac{z-w}{\alpha -w} \right| <1$[/tex] e [tex]$\left| \frac{\alpha -w}{z-w} \right|<1$[/tex].
Prova ad applicare queste considerazioni al tuo caso e vedi cosa riesci a trarne.
Grazie mille. Mi sei stato di grande aiuto.
Ho risolto questo esercizio, ma non ho ancora ben capito cosa, in generale, devo cercare di fare quando mi si chiede di sviluppare in serie di Laurent una data funzione attorno ad un punto w. Devo cercare di ottenere degli elementi $ (z - w) $ ?
Ad esempio questo è un altro esercizio:
Sviluppare in seri di Laurent la funzione $ f(z) = (z - 1 + root ( ) (2/3) )^2 sin (1/(z - 1)) cos (1/(z - 1)) $ attorno al punto $ w = 1 $ e determinare il residuo.
Ora, leggendo le soluzioni dell'esercizio, ho capito che $ (z - 1 + root ( ) (2/3) )^2 = [ (z-1)^2 + 2 ( root ( ) (2/3) ) (z-1) + 2/3 ] $ e che $ sin (1/(z - 1)) cos (1/(z - 1)) = 1/2 sin (2/(z-1)) $ e quindi
$ f(z) = [ (z-1)^2 + 2 ( root ( ) (2/3) ) (z-1) + 2/3 ] 1/2 sum_(n = 0)^(oo ) (((-)^n)/((2n+1)!))(2/(z-1))^(2n+1) $
Ora, io senza leggere le soluzioni non avrei mai pensato a una cosa del genere. Avrei magari pensato a sviluppare in serie le 3 funzioni separate (il polinomio, il seno e il coseno) e poi metterle insieme. Non avrei potuto fare così? Non si può sviluppare in serie $ sin (1/(z - 1)) $ e poi $ cos (1/(z - 1)) $ ?
Oppure possiamo sviluppare la funzione seno e non la funzione coseno?
Ho risolto questo esercizio, ma non ho ancora ben capito cosa, in generale, devo cercare di fare quando mi si chiede di sviluppare in serie di Laurent una data funzione attorno ad un punto w. Devo cercare di ottenere degli elementi $ (z - w) $ ?
Ad esempio questo è un altro esercizio:
Sviluppare in seri di Laurent la funzione $ f(z) = (z - 1 + root ( ) (2/3) )^2 sin (1/(z - 1)) cos (1/(z - 1)) $ attorno al punto $ w = 1 $ e determinare il residuo.
Ora, leggendo le soluzioni dell'esercizio, ho capito che $ (z - 1 + root ( ) (2/3) )^2 = [ (z-1)^2 + 2 ( root ( ) (2/3) ) (z-1) + 2/3 ] $ e che $ sin (1/(z - 1)) cos (1/(z - 1)) = 1/2 sin (2/(z-1)) $ e quindi
$ f(z) = [ (z-1)^2 + 2 ( root ( ) (2/3) ) (z-1) + 2/3 ] 1/2 sum_(n = 0)^(oo ) (((-)^n)/((2n+1)!))(2/(z-1))^(2n+1) $
Ora, io senza leggere le soluzioni non avrei mai pensato a una cosa del genere. Avrei magari pensato a sviluppare in serie le 3 funzioni separate (il polinomio, il seno e il coseno) e poi metterle insieme. Non avrei potuto fare così? Non si può sviluppare in serie $ sin (1/(z - 1)) $ e poi $ cos (1/(z - 1)) $ ?
Oppure possiamo sviluppare la funzione seno e non la funzione coseno?
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