Serie di Laurent
Salve,
sono un nuovo iscritto e volevo chiedervi un aiuto sulle serie di Laurent.
Non riesco a capire come poter risolvere gli esercizi di questo tipo:
se ho f(x)=(1/z^3)exp(z) e devo espanderla in serie di Laurent centreata in z=0, come faccio?
E in generale come si risolve un esercizio del genere? i residui centrano qualcosa?
grazie mille!
sono un nuovo iscritto e volevo chiedervi un aiuto sulle serie di Laurent.
Non riesco a capire come poter risolvere gli esercizi di questo tipo:
se ho f(x)=(1/z^3)exp(z) e devo espanderla in serie di Laurent centreata in z=0, come faccio?
E in generale come si risolve un esercizio del genere? i residui centrano qualcosa?
grazie mille!
Risposte
La tua funzione è il prodotto di un fattore, [tex]$\tfrac{1}{z^3}$[/tex], chè è già "di suo" un buon addendo di una serie di Laurent centrata in [tex]$0$[/tex]; e di una funzione analitica in [tex]$0$[/tex], cioè [tex]$e^z$[/tex].
Se sviluppi solo [tex]$e^z$[/tex] in serie di Taylor, riesci a scrivere la tua funzione come prodotto tra [tex]$\tfrac{1}{z^3}$[/tex] ed una serie di potenze convergente, ergo puoi portare [tex]$\tfrac{1}{z^3}$[/tex] sotto il simbolo sommatorio; manipolando opportunamente le potenze ti accorgi che, fatto questo passaggio, hai ottenuto lo sviluppo di Laurent che cercavi.
Se sviluppi solo [tex]$e^z$[/tex] in serie di Taylor, riesci a scrivere la tua funzione come prodotto tra [tex]$\tfrac{1}{z^3}$[/tex] ed una serie di potenze convergente, ergo puoi portare [tex]$\tfrac{1}{z^3}$[/tex] sotto il simbolo sommatorio; manipolando opportunamente le potenze ti accorgi che, fatto questo passaggio, hai ottenuto lo sviluppo di Laurent che cercavi.
Se $f(z)$ e' olomorfa in $C={r_1<| z-z_0|
$f(z)= sum_( n =-\infty )^( +\infty )a_n(z-z_0)^n $ $AAzin C$
La serie $ sum_( n =0 )^( +\infty )a_n(z-z_0)^n$ e' detta la parte analitica della serie di Laurent
La serie $ sum_( n =-\infty )^( -1 )a_n(z-z_0)^n$ e' detta la parte principale della serie di Laurent
Puo'capitare che:
La parte principale $ sum_( n =-\infty )^( -1 )a_n(z-z_0)^n$ ha un numero finito di termini :$a_(-1)/(z-z_0)+a_(-2)/(z-z_0)^2+....+a_(-n)/(z-z_0)^n$
allora $z=z_0$ e' detto polo di ordine $n$,per $n=1$ il polo e' semplice
$a_(-1)$ e' detto il residuo di $f(z)$ in $z=z_0$
Adesso ti devi riportare la funzione $f(z)$ in termini della serie di Laurent utilizzando gli sviluppi notevoli in serie:$e^z=...$
$f(z)= sum_( n =-\infty )^( +\infty )a_n(z-z_0)^n $ $AAzin C$
La serie $ sum_( n =0 )^( +\infty )a_n(z-z_0)^n$ e' detta la parte analitica della serie di Laurent
La serie $ sum_( n =-\infty )^( -1 )a_n(z-z_0)^n$ e' detta la parte principale della serie di Laurent
Puo'capitare che:
La parte principale $ sum_( n =-\infty )^( -1 )a_n(z-z_0)^n$ ha un numero finito di termini :$a_(-1)/(z-z_0)+a_(-2)/(z-z_0)^2+....+a_(-n)/(z-z_0)^n$
allora $z=z_0$ e' detto polo di ordine $n$,per $n=1$ il polo e' semplice
$a_(-1)$ e' detto il residuo di $f(z)$ in $z=z_0$
Adesso ti devi riportare la funzione $f(z)$ in termini della serie di Laurent utilizzando gli sviluppi notevoli in serie:$e^z=...$
ok, però se mi voglio calcolare il residuo della f(x)=(1/z^4) sin(z):
ho scritto lo sviluppo di laurent che mi viene con la sommatoria da 0 a più infinito, come faccio a trovarmi il residuo nell'origine che è un polo di ordine 3?
ho scritto lo sviluppo di laurent che mi viene con la sommatoria da 0 a più infinito, come faccio a trovarmi il residuo nell'origine che è un polo di ordine 3?
$f(z)=1/z^4(z-z^3/(3!)+z^5/(5!)-z^7/(7!)+....)=.....$.Se il residuo e'$a_(-1)$ allora sara'...
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