Serie di Laurent...
Salve a tutti....
Sono alle prese con una serie di Laurent, ossia:
.....Sviluppare in un intorno di $z=-3$ la funzione: &f(z)= 1 / ((z+1)(z+3)^2)$.......
Ho chiare ( o alemno spero) le singolarità della funzione ( $z=-1$ ( polo semplice) e z= -3 ( polo doppio) ), e come si calcola il coefficente a-1 della serie.
Il mio problema è: che devo fare per renderla una serie? non le so proprio fare in pratica....
Una mia idea è quella di fare la serie di Laurent attraverso serie già note....ma non credo vada tanto bene.............
Ringrazio anticipatamente per eventuali aiuti, suggerimenti o commenti.....
Saluti....
Sono alle prese con una serie di Laurent, ossia:
.....Sviluppare in un intorno di $z=-3$ la funzione: &f(z)= 1 / ((z+1)(z+3)^2)$.......
Ho chiare ( o alemno spero) le singolarità della funzione ( $z=-1$ ( polo semplice) e z= -3 ( polo doppio) ), e come si calcola il coefficente a-1 della serie.
Il mio problema è: che devo fare per renderla una serie? non le so proprio fare in pratica....
Una mia idea è quella di fare la serie di Laurent attraverso serie già note....ma non credo vada tanto bene.............
Ringrazio anticipatamente per eventuali aiuti, suggerimenti o commenti.....
Saluti....
Risposte
SOLITA ERRATA CORRIGE
$f(z)= 1 / ((z+1)(z+3)^2)$
scusatemi...
$f(z)= 1 / ((z+1)(z+3)^2)$
scusatemi...
Allora il termine $a_(-1)$ lo calcoli come da definizione:
$lim_(z->-3) d(f(z)(z+3)^2)/(dx)$
Dunque, la serie può essere riscritta come:
$1/(z+1) 1/(z+3)^2$ dove il termine $1/(z+1)=1/(z+1-3+3)=-1/(2-(z+3))=-1/2 1/(1-(z+3)/2)$ che se non sbaglio si riconduce alla serie geometrica:
$-1/2sum_(n=0)^(+oo) ((z+3)/2)^n$ che è uno sviluppo di Taylor. Le conclusioni vengono di conseguenza..
$lim_(z->-3) d(f(z)(z+3)^2)/(dx)$
Dunque, la serie può essere riscritta come:
$1/(z+1) 1/(z+3)^2$ dove il termine $1/(z+1)=1/(z+1-3+3)=-1/(2-(z+3))=-1/2 1/(1-(z+3)/2)$ che se non sbaglio si riconduce alla serie geometrica:
$-1/2sum_(n=0)^(+oo) ((z+3)/2)^n$ che è uno sviluppo di Taylor. Le conclusioni vengono di conseguenza..
Grazie mille clrscr!! 
perciò avendo un'altra funzione per esempio:
$f(z)= 1 / ((z+5)(z+2)^2)$ si ha:
$f(z)= ( 1 / z+5 ) ( 1/ z+3)^2$ ove: $1/z+5$ = $1 / z+5-2+2$ = $1/ 3+(z+2)$ = $1/31/(1+(z+2/2))$ =
$1/3sum_(n=0)^(+∞)((z+2)/3)^n$
è corretta? ancora un grazie per l'aiuto.....
saluti...
perciò avendo un'altra funzione per esempio: $f(z)= 1 / ((z+5)(z+2)^2)$ si ha:
$f(z)= ( 1 / z+5 ) ( 1/ z+3)^2$ ove: $1/z+5$ = $1 / z+5-2+2$ = $1/ 3+(z+2)$ = $1/31/(1+(z+2/2))$ =
$1/3sum_(n=0)^(+∞)((z+2)/3)^n$
è corretta? ancora un grazie per l'aiuto.....
saluti...
Scusate l'intromissione, però credo che quanto detto finora vada rimaneggiato tendendo presente che non si ha a che fare con serie di Taylor, ma di Laurent.
Si può scrivere $f(z)$ in un intorno di $z=3$ (che è un polo doppio) nel seguente modo:
$f(z)=1/((z+1)(z+3)^2)=-1/(2(z+3)^2)-1/(4(z+3))+1/(4(z+1))=-1/(z+3)[1/(2(z+3))+1/4]+1/(4(z+1))$
$" "" "=-1/(z(1+3/z))(1/(2z(z+3))+1/4)+1/(4(z+1))=-1/zsum_(k=0)^oo(-1)^k(3/z)^k[1/(2z)sum_(k=0)^oo(-1)^k(3/z)^k+1/4]+1/4sum_(k=0)^oo(-z)^k$
$" "" "=-1/(4z)(1-3/z+(3^2)/(z^2)-ldots)-1/(2z^2)(1-3/z+(3^2)/(z^2)-ldots)(1-3/z+(3^2)/(z^2)-ldots)+1/4sum_(k=0)^oo(-z)^k$
$" "" "=-1/(4z)sum_(k=0)^oo(-1)^k(3/z)^k-1/(2z^2)[1-3/z+(3^2)/z^2-ldots-3/z(1-3/z+(3^2)/z^2-ldots)+3^2/z^2(1-3/z+(3^2)/z^2-ldots)-ldots]+1/4sum_(k=0)^oo(-z)^k$
$" "" "=-1/(4z)sum_(k=0)^oo(-1)^k(3/z)^k-1/(2z^2)sum_(k=0)^oo(-1)^k(k+1)(3/z)^k+1/4sum_(k=0)^oo(-z)^k$
$" "" "=1/4sum_(k=0)^oo[(-z)^k-(-3)^k(1/z)^(2+k)(2+2k+z)]$
$" "" "=ldots-13/(2z^4)+1/(2z^3)+1/(2z^2)-1/(2z)-17/54z+5/18z^2+ldots$
Si può scrivere $f(z)$ in un intorno di $z=3$ (che è un polo doppio) nel seguente modo:
$f(z)=1/((z+1)(z+3)^2)=-1/(2(z+3)^2)-1/(4(z+3))+1/(4(z+1))=-1/(z+3)[1/(2(z+3))+1/4]+1/(4(z+1))$
$" "" "=-1/(z(1+3/z))(1/(2z(z+3))+1/4)+1/(4(z+1))=-1/zsum_(k=0)^oo(-1)^k(3/z)^k[1/(2z)sum_(k=0)^oo(-1)^k(3/z)^k+1/4]+1/4sum_(k=0)^oo(-z)^k$
$" "" "=-1/(4z)(1-3/z+(3^2)/(z^2)-ldots)-1/(2z^2)(1-3/z+(3^2)/(z^2)-ldots)(1-3/z+(3^2)/(z^2)-ldots)+1/4sum_(k=0)^oo(-z)^k$
$" "" "=-1/(4z)sum_(k=0)^oo(-1)^k(3/z)^k-1/(2z^2)[1-3/z+(3^2)/z^2-ldots-3/z(1-3/z+(3^2)/z^2-ldots)+3^2/z^2(1-3/z+(3^2)/z^2-ldots)-ldots]+1/4sum_(k=0)^oo(-z)^k$
$" "" "=-1/(4z)sum_(k=0)^oo(-1)^k(3/z)^k-1/(2z^2)sum_(k=0)^oo(-1)^k(k+1)(3/z)^k+1/4sum_(k=0)^oo(-z)^k$
$" "" "=1/4sum_(k=0)^oo[(-z)^k-(-3)^k(1/z)^(2+k)(2+2k+z)]$
$" "" "=ldots-13/(2z^4)+1/(2z^3)+1/(2z^2)-1/(2z)-17/54z+5/18z^2+ldots$
La vedo grigia questo esame.... confuso essere 
Comunque, da quel che ho capito, $-1/2sum_(n=0)^(+∞) ((z+3)/2)^n$ è in serie di Taylor, mentre quella fatta da elgiovo ( che ringrazio per l'intromissione ) è in serie di Laurent.
Domanda: non è possibile esprimere la serie di Laurent in forma generale, ovvero senza esplicitare tutti questi calcoli?
Un thanks per il gentile aiuto...
Saluti...
Comunque, da quel che ho capito, $-1/2sum_(n=0)^(+∞) ((z+3)/2)^n$ è in serie di Taylor, mentre quella fatta da elgiovo ( che ringrazio per l'intromissione ) è in serie di Laurent.
Domanda: non è possibile esprimere la serie di Laurent in forma generale, ovvero senza esplicitare tutti questi calcoli?
Un thanks per il gentile aiuto...
Saluti...
La serie di Taylor cesserà di convergere appena usciti dal disco $|z|<1$. Nella corona circolare $1<|z|<3$ vale uno sviluppo di Laurent, nel resto del piano complesso vale un altro sviluppo di Laurent (che è quello che ho trovato sopra). Se ti interessa trovare lo sviluppo di Laurent per una funzione del tipo $f(z)=1/((z-a)^2(z-b))$ attorno a $z=a$ basta ripetere i conti fatti sopra in forma parametrica (non è necessario farli proprio da capo, basta sostituire qualcosa).
Solo una cosa, elgiovo: avevo inteso che lo sviluppo si dovesse fare intorno a $-3$, lasciando cioè la serie come somma di potenze di $(z+3)$... d'accordo poi che si avranno, come hai detto tu, sviluppi diversi per le diverse corone circolari.
Vedo che il mio procedimento non è stato capito...Dunque, dicendo che :
$-1/2sum_(n=0)^(+oo)((z+3)/2)^n$ è lo sviluppo di Taylor, intendevo che proseguendo il ragionamento si ottiene:
$-1/2sum_(n=0)^(+oo)((z+3)^(n-2)/(2)^n)$ questa mi sembra la serie di Laurent cercata.
E' che non volevo rovinare tutta la bellezza dell'esercizio!!!!
$-1/2sum_(n=0)^(+oo)((z+3)/2)^n$ è lo sviluppo di Taylor, intendevo che proseguendo il ragionamento si ottiene:
$-1/2sum_(n=0)^(+oo)((z+3)^(n-2)/(2)^n)$ questa mi sembra la serie di Laurent cercata.
E' che non volevo rovinare tutta la bellezza dell'esercizio!!!!
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