SERIE DI LAURENT
Ciao a tutti, come andrebbe svolto questo esercizio? Ho provato a farlo ma vorrei conferma da voi.... 
grazie!
Rappresentare mediante una serie di Laurent la funzione
f(z) = (z^2-1) / z(1+z^2) nella regione |z| < 1
grazie! Rappresentare mediante una serie di Laurent la funzione
f(z) = (z^2-1) / z(1+z^2) nella regione |z| < 1
Risposte
Basta notare che $(z^2-1)/(z(1+z^2))=(2z)/(z^2+1)-1/z=-1/z+2z sum_(k=0)^(oo) (-1)^k z^(2k)$.
ciao! Ma hai considerato anche la regione?
E se fosse stato |z|>1?...
Altro quesito, come fai a trovare la serie di 1/(z^2+1) ? Grazie
E se fosse stato |z|>1?...
Altro quesito, come fai a trovare la serie di 1/(z^2+1) ? Grazie
Si, ho considerato anche la regione. Infatti, volendo sviluppare $f(z)$ per $|z|>1$,
si ottiene $(z^2-1)/(z(1+z^2))=(2z)/(z^2+1)-1/z=-1/z+(2z 1/z^2)/(1/z^2(z^2+1))=-1/z+2/z *1/(1+1/z^2)=-1/z+2/z sum_(k=0)^(oo) (-1)^k (1/z)^(2k)$.
$1/(z^2+1)$ è la somma di una serie geometrica di ragione $(-1)* z^2$. La serie converge se $|(-1)*z^2|<1$, dunque se $|z|<1$.
Dove cessa la sviluppabilità in serie di Taylor, ovvero per $|z|>1$, entra in gioco una serie di Laurent.
si ottiene $(z^2-1)/(z(1+z^2))=(2z)/(z^2+1)-1/z=-1/z+(2z 1/z^2)/(1/z^2(z^2+1))=-1/z+2/z *1/(1+1/z^2)=-1/z+2/z sum_(k=0)^(oo) (-1)^k (1/z)^(2k)$.
$1/(z^2+1)$ è la somma di una serie geometrica di ragione $(-1)* z^2$. La serie converge se $|(-1)*z^2|<1$, dunque se $|z|<1$.
Dove cessa la sviluppabilità in serie di Taylor, ovvero per $|z|>1$, entra in gioco una serie di Laurent.
Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo