Serie di Laurent

[marcoderamo93]

Ciao ragazzi
girovagando qua e la mi sono imbattuto in esercizio sulla serie di Laurent un pò strano( forse è più facile di quello che penso );ovvero devo trovare la serie di Laurent centrata in zero della seguente funzione e infite calcolare il residuo(per quest'ultimo una volta arrivato alla fine il gioco è fatto):
$ f(z)=cos(z+3ipi)/z^4 $
osservo subito che il termine al denominatore è gia nella forma desiderata quindi devo lavorare solo nel numeratore.Arrivati a questo punto però devo in qualche modo aggiustare il coseno visto che non posso utilizzarlo in questo modo(avrei una serie centrata in -3 pi greco,o sbaglio?).Come posso proseguire? Forse attraverso $ cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) $ ?
Grazie in anticipo e buona giornata

[Antimius]

Sì, l'idea è buona. Tanto il seno e il coseno di $3i\pi$ sono dei valori costanti che quindi puoi portare fuori dalla serie.

[marcoderamo93]

Grazie mille.. quindi facendo i calcoli mi viene:

$ cos(z)cos(3ipi)-sen(z)sen(3ipi) $ dove il secondo membro è uguale a 0,grazie a $ sen(3ipi)=0 $ da ciò avrò(ricordando lo sviluppo di Taylor del coseno):

$ 1/z^4*(cos(3ipi))*sum_(n = 0\ldots) (-1)^n(z)^(2n)/(2n!) $ che diventa $ (cos(3ipi))*sum_(n =-4\ldots) (-1)^(n+4)(z)^(2n)/(2(n+4)!) $ giusto???

[Antimius]

Però $\sin(3i\pi) = \frac{e^{-3\pi}-e^{3\pi}}{2} \ne 0$

[marcoderamo93]

Ops vero... l ho trattato come un seno reale ..quindi tu come lo svolgeresti?

[Antimius]

Allo stesso modo solo che hai un'altra serie con un altro coefficiente davanti, poi basta farne la somma: $a \sum_nx_nz^n + b \sum_ny_nz^n = \sum_n(ax_n+by_n)z^n$. Forse il termine generico non si scrive facilmente in maniera compatta, ma puoi scriverlo esplicitamente per indici pari e dispari.