Serie di laurent

[Fede461]

Ciao, avrei bisogno di una mano con la serie di laurent nella foto qui sotto:

ho due problemi:
- non capisco che procedimento ha applicato per semplificare la funzione nel secondo insieme, nel primo ha fatto i fratti semplici con le tre equazioni e gli viene quel risultato ma nel secondo insieme non capisco che procedimento abbia fatto per semplificare la funzione
- (spero di essere chiaro) non riesco a capire come comportarmi davanti alla funzione in relazione all'insieme che sto considerando, per esempio perchè il procedimento che ha fatto nell'insieme 1 l'ha fatto proprio in quello e non nell'altro e viceversa? non riesco a capire come l'essere nell'uno o nell'altro insieme influenzi la ricerca della serie
Grazie in anticipo

[Trilogy]

La prima uguaglianza del secondo caso è uguale a quella del primo caso. Poi scrive in modo leggermente diverso la seconda uguaglianza, se il tuo problema è qui prova a riscrivere la parte a destra finché non trovi quella a sinistra. Dopodiché per la terza uguaglianza usa la stessa "formula famosa" che usa nel primo caso, cioè
$$\frac 1{1-a}=\sum_{i=0}^\infty a^i.$$
Per la tua seconda domanda, il punto importante è che la formula qua sopra vale solo per certi $a$, o equivalentemente le somme che sono scritte nella foto sono ben definite solo per certi $z$. È chiaro questo?

Se all'inizio ti sembra che ogni calcolo di una serie di Laurent sia un trucco magico, è comprensibile. L'unico modo per capirlo è fare un sacco di esercizi, ed è ancora meglio se poi puoi guardare la soluzione. Ti consiglio il libro di analisi complessa di Carlo Presilla, che ha miliardi di esercizi e tutte le soluzioni molto dettagliate.