Serie di laurent
Salve a tutti, ho avuto problemi con la risoluzione di questo sviluppo:
$ (z-1)sin(1/(z+1)) $
Il testo dice: determinare lo sviluppo in serie di Laurent di centro z=-1 della seguente funzione.
Classificare le singolaritá e indicare la regione di convergenza della serie.
Io ho provato a sviluppare il seno in serie di Taylor
$ sum_(n = \0) (-1)^n1/((z+1)^(2n+1)(2n+1)!) $
Poi non so come classificare le singolaritá e trovare la regione di convergenza!
Grazie
$ (z-1)sin(1/(z+1)) $
Il testo dice: determinare lo sviluppo in serie di Laurent di centro z=-1 della seguente funzione.
Classificare le singolaritá e indicare la regione di convergenza della serie.
Io ho provato a sviluppare il seno in serie di Taylor
$ sum_(n = \0) (-1)^n1/((z+1)^(2n+1)(2n+1)!) $
Poi non so come classificare le singolaritá e trovare la regione di convergenza!
Grazie
Risposte
Dunque, dal momento che vuoi sviluppare in $z=-1$, si verifica facilmente che l'espressione che hai scritto è lo sviluppo di Laurent della funzione seno. Tuttavia, tu vuoi sviluppare tutta la funzione: per fare questo, osserva che puoi scrivere
$$(z-1)\sin\frac{1}{z+1}=[(z+1)-2]\sin\frac{1}{z+1}=[(z+1)-2]\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(z+1)^{-2n-1}=\\
\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(z+1)^{-2n}-2\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(z+1)^{-2n-1}=\\ \sum_{n=0}^\infty a_n(z+1)^{-n}$$
dove i coefficienti sono
$$a_n=\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} & & n\mathrm{ pari}\\
-2\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} & & n\mathrm{ dispari}
\end{array}\right.$$
Dallo sviluppo si evince che $z=-1$ è una singolarità essenziale (tutte le potenze negative) e che non ce en sono altre al finito. Dovresti investigare su cosa accade per $z=\infty$: hai idea di come fare?
Per il raggio di convergenza, basta analizzare cosa accade al limite $\lim_{n\to+\infty}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|$ e ricordare che il raggio di convergenza $R$ coincide con tale limite. Alla fine la regone di convergenza è il disco $|z+1|< R$. Di cui poi va analizzato il comportamento quando $|z+1|=R$.
$$(z-1)\sin\frac{1}{z+1}=[(z+1)-2]\sin\frac{1}{z+1}=[(z+1)-2]\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(z+1)^{-2n-1}=\\
\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(z+1)^{-2n}-2\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(z+1)^{-2n-1}=\\ \sum_{n=0}^\infty a_n(z+1)^{-n}$$
dove i coefficienti sono
$$a_n=\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} & & n\mathrm{ pari}\\
-2\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} & & n\mathrm{ dispari}
\end{array}\right.$$
Dallo sviluppo si evince che $z=-1$ è una singolarità essenziale (tutte le potenze negative) e che non ce en sono altre al finito. Dovresti investigare su cosa accade per $z=\infty$: hai idea di come fare?
Per il raggio di convergenza, basta analizzare cosa accade al limite $\lim_{n\to+\infty}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|$ e ricordare che il raggio di convergenza $R$ coincide con tale limite. Alla fine la regone di convergenza è il disco $|z+1|< R$. Di cui poi va analizzato il comportamento quando $|z+1|=R$.
Facendo il $ lim_(n-> oo) | a_n/a_(n+1)| $ risulta infinito.
E qui come dovrei procedere per ricavare la regione di convergenza?
E qui come dovrei procedere per ricavare la regione di convergenza?
Se $R=\infty$, allora la serie converge su tutto $CC$, escluse le singolarità. Domanda: ma quei due Teoremini (Riemann e Abel) sulle serie di potenze complesse li abbiamo letti?
Ok grazie mille per l'aiuto. Comunque nel nostro corso non abbiamo approfondito molto sulle serie di Laurent e altri teoremi complessi purtroppo 
Comunque grazie moltissimo per l'aiuto 
Comunque grazie moltissimo per l'aiuto
Comunque si sapevo che se il raggio è infinito allora la serie converge su tutto il dominio solo che pensavo ci fossero altri passaggi da fare. Grazie tanto.
Prego. Comunque leggiti almeno gli enunciati sulle serie di Laurent e le condizioni per le varie singolarità. Sono meno "complesse" (perdona il gioco di parole) di quello che sembrano.
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