Serie di Laurent
Salve. Credevo di aver già aperto questa discussione ieri ma non l'ho trovata più.. boh ._.
Comunque, come sospettavo, l'esame di analisi II è andato più che male. Uno degli esercizi era questo:
Data $ f(z) = sum_{n=-\infty}^10 \frac {(z-3)^n}{4^(n-5)} $
1) Dire dove la funzione è analitica.
2) Specificare qual è l'unica singolarità della funzione e classificarla.
3) Dire quanto vale il residuo nella singolarità.
Ora, la serie data parte da $ -\infty $, quindi non è una serie di potenze ma è una serie di Laurent, giusto?
La funzione è analitica dove converge. Quindi devo trovarmi il raggio di convergenza. Per farlo ho considerato
la medesima serie che però parte da n = 0, che è una serie di potenze. Non sono esattamente convinto poiché
la teoria dice che anche la parte singolare ha un suo raggio di convergenza. Per la precisione la serie di Laurent
dovrebbe convergere in una corona circolare. Comunque, ho calcolato il raggio di convergenza a modo mio in questo modo:
$ lim_{n \to \infty} \frac {\|A_(n+1)\|}{\|A_n\|} = lim_{n \to \infty} \frac {4^(n-5)}{4^(n-4)} = \frac {1}{4} $
Dunque il raggio di convergenza è $ R = 4 $
- Convergenza assoluta (--> puntuale) per $ \|z-3\| < 4 $ --> e questo dovrebbe essere l'insieme di analiticità
Non capisco quale sia la singolarità della funzione. Il denominatore non si annulla mai >.>
Però una cosa è certa. Il residuo è il coefficiente del termine $ C_-1 $, quindi:
$ C_-1 = \frac {(z-3)^-1}{4^(-1-5)} = \frac {4^6}{(z-3)} $ da cui il residuo è $ 4^6 $
La misteriosa singolarità dovrebbe essere di tipo essenziale dato che la funzione data consta di infiniti termini
a parte singolare. Aspetto delucidazioni
Comunque, come sospettavo, l'esame di analisi II è andato più che male. Uno degli esercizi era questo:
Data $ f(z) = sum_{n=-\infty}^10 \frac {(z-3)^n}{4^(n-5)} $
1) Dire dove la funzione è analitica.
2) Specificare qual è l'unica singolarità della funzione e classificarla.
3) Dire quanto vale il residuo nella singolarità.
Ora, la serie data parte da $ -\infty $, quindi non è una serie di potenze ma è una serie di Laurent, giusto?
La funzione è analitica dove converge. Quindi devo trovarmi il raggio di convergenza. Per farlo ho considerato
la medesima serie che però parte da n = 0, che è una serie di potenze. Non sono esattamente convinto poiché
la teoria dice che anche la parte singolare ha un suo raggio di convergenza. Per la precisione la serie di Laurent
dovrebbe convergere in una corona circolare. Comunque, ho calcolato il raggio di convergenza a modo mio in questo modo:
$ lim_{n \to \infty} \frac {\|A_(n+1)\|}{\|A_n\|} = lim_{n \to \infty} \frac {4^(n-5)}{4^(n-4)} = \frac {1}{4} $
Dunque il raggio di convergenza è $ R = 4 $
- Convergenza assoluta (--> puntuale) per $ \|z-3\| < 4 $ --> e questo dovrebbe essere l'insieme di analiticità
Non capisco quale sia la singolarità della funzione. Il denominatore non si annulla mai >.>
Però una cosa è certa. Il residuo è il coefficiente del termine $ C_-1 $, quindi:
$ C_-1 = \frac {(z-3)^-1}{4^(-1-5)} = \frac {4^6}{(z-3)} $ da cui il residuo è $ 4^6 $
La misteriosa singolarità dovrebbe essere di tipo essenziale dato che la funzione data consta di infiniti termini
a parte singolare. Aspetto delucidazioni
Risposte
Non vorrei dire stupidate, conosco poco l'argomento, ma con $z=3$ tutti gli $n$ negativi sono delle singolarità. Sbaglio ?
Non lo so proprio. Se poni z = 3 è tutto 0, per ogni n. Non credo che c'entri qualcosa, perché puoi ricondurti anche
ad una serie di potenze di centro 0 ponendo t = z - 3. Comunque come singolarità non si considerano gli zeri del numeratore
che io sappia.
ad una serie di potenze di centro 0 ponendo t = z - 3. Comunque come singolarità non si considerano gli zeri del numeratore
che io sappia.
Forse può esserti utile la pagina Wiki http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Laurent
in fondo: se la parte negativa non si ferma....
avresti una singolarità essenziale in $z=3$ mi sembra.
in fondo: se la parte negativa non si ferma....
avresti una singolarità essenziale in $z=3$ mi sembra.
Grazie, appena posso gli do una letta.
A leggere da wikipedia avrei dovuto calcolare anche r oltre ad R dato che appunto, la serie di laurent è olomorfa in
una corona circolare. Però rimane il dubbio sulla singolarità. z = 3 non può essere singolarità. z = 3 è il punto rispetto
alla quale la serie data è definita.
una corona circolare. Però rimane il dubbio sulla singolarità. z = 3 non può essere singolarità. z = 3 è il punto rispetto
alla quale la serie data è definita.
Sono stato dalla prof che mi ha spiegato l'esercizio. Posto la soluzione che potrebbe essere utile per qualcuno.
Una serie di Laurent è composta da due parti: parte singolare e parte regolare. Nel nostro caso la parte regolare
è composta dai termini che vanno da n=0 ad n=10, dunque è composta da un numero finito di termini e quindi è
ovviamente convergente. Per ottenere l'area di convergenza (e dunque di analiticità), bisogna calcolare il raggio
di convergenza della parte singolare che va da n=-infinito a n=-1:
$ sum_{n=-\infty}^(-1) \frac {(z-3)^n}{4^(n-5)} $
Questa si può scrivere come:
$ sum_{n=1}^(+\infty) \frac {1}{(z-3)^n} \frac {1}{4^(-n-5)} $
Non è una serie di potenze. Per ricondurmi ad una serie di potenze pongo $ t = \frac {1}{(z-3)} $ ottenendo:
$ sum_{n=1}^(+\infty) t^n \frac {1}{4^(-n-5)} $
Utilizzando il criterio della radice o il criterio di D'Alembert si può calcolare facilmente il raggio di convergenza
che viene $ R = \frac {1}{4} $
Quindi si ha convergenza per $ \| \frac {1}{z-3} \| < \frac {1}{4} $, ossia per $ \|z-3\| > 4 $.
L'area di analiticità dunque è tutta l'area al di fuori di un cerchio di centro 3 (la singolarità) e raggio 4.
Il residuo è come avevo detto io.
Una serie di Laurent è composta da due parti: parte singolare e parte regolare. Nel nostro caso la parte regolare
è composta dai termini che vanno da n=0 ad n=10, dunque è composta da un numero finito di termini e quindi è
ovviamente convergente. Per ottenere l'area di convergenza (e dunque di analiticità), bisogna calcolare il raggio
di convergenza della parte singolare che va da n=-infinito a n=-1:
$ sum_{n=-\infty}^(-1) \frac {(z-3)^n}{4^(n-5)} $
Questa si può scrivere come:
$ sum_{n=1}^(+\infty) \frac {1}{(z-3)^n} \frac {1}{4^(-n-5)} $
Non è una serie di potenze. Per ricondurmi ad una serie di potenze pongo $ t = \frac {1}{(z-3)} $ ottenendo:
$ sum_{n=1}^(+\infty) t^n \frac {1}{4^(-n-5)} $
Utilizzando il criterio della radice o il criterio di D'Alembert si può calcolare facilmente il raggio di convergenza
che viene $ R = \frac {1}{4} $
Quindi si ha convergenza per $ \| \frac {1}{z-3} \| < \frac {1}{4} $, ossia per $ \|z-3\| > 4 $.
L'area di analiticità dunque è tutta l'area al di fuori di un cerchio di centro 3 (la singolarità) e raggio 4.
Il residuo è come avevo detto io.
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