Serie di integrali

[tommaso.stilo]

Come si risolve questo esercizio? Almeno un input, non so proprio da dove cominciare...
Studiare la convergenza al variare di x reale della serie:
[tex]\sum_{n=1}^\infty \int_{n}^{\infty} e^{-xy^2} dy[/tex]

[Rigel1]

Chiaramente per \( x\leq 0\) la serie non converge.
Per \( x > 0\) puoi provare a fare il cambio di variabile \( z = \sqrt{x} (y-n) \) e vedere un po' se riesci a tirarne fuori qualcosa di buono.

[gugo82]

"aeneas2019":Come si risolve questo esercizio? Almeno un input, non so proprio da dove cominciare...
Studiare la convergenza al variare di x reale della serie:
[tex]\sum_{n=1}^\infty \int_{n}^{\infty} e^{-xy^2} dy[/tex]

Come diceva Righello, è evidente che per \(x\leq 0\) la serie non converge (infatti ogni addendo è uguale a \(+\infty\)!).

Quindi cominci a supporre \(x>0\).
La funzione integranda \(f_x(y):=\exp (-x\ y^2)\) è integrabile in senso improprio in \([0,\infty[\), ergo risulta \(\lim_n \int_n^\infty \exp (-xy^2)\ \text{d} y =0\) (perché?) ed è verificata la condizione necessaria alla convergenza.
Stabilito ciò, ha senso cercare di stabilire se la successione \(\int_n^\infty \exp (-xy^2)\ \text{d} y\) è un infinitesimo dotato di ordine. Per fare ciò, bisogna cercare o di maggiorare in maniera decente l'integrale oppure bisogna cercare di tirar fuori \(n\) da dentro gli estremi d'integrazione.
Chiaramente per ogni \(x>0\) e per \(n\geq 1\) si ha \(-xy^2\leq -xy\) per ogni \(y\in [n,\infty[\) quindi:
\[
0\leq \int_n^\infty \exp (-xy^2)\ \text{d} y \leq \int_n^\infty \exp (-xy)\ \text{d} y
\]
ed il secondo integrale è calcolabile elementarmente... Da ciò si possono trarre delle conclusioni interessanti, no?