Serie di Grandi
Stavo leggendo la pagina di wikipedia sulla serie di Grandi. Non riesco a capire questa parte
"Otherwise these operations can alter the result of summation. Further, the terms of Grandi's series can be rearranged to have its accumulation points at any interval of two or more consecutive integer numbers, not only 0 or 1. For instance, the series
$1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1....$
(in which, after five initial +1 terms, the terms alternate in pairs of +1 and −1 terms) is a permutation of Grandi's series in which each value in the rearranged series corresponds to a value that is at most four positions away from it in the original series; its accumulation points are 3, 4, and 5."
http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s ... Divergence
Nonostante ci sia scritto non riesco a capire che tipo di permutazione faccia per ottenere tale serie, forse fraintendo l'inglese. Dice che ad ogni valore della serie originale ne mette uno lontano almeno 4 posizioni, giusto? Non capisco comunque come ottienga quel numero.
Grazie dell'aiuto
"Otherwise these operations can alter the result of summation. Further, the terms of Grandi's series can be rearranged to have its accumulation points at any interval of two or more consecutive integer numbers, not only 0 or 1. For instance, the series
$1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1....$
(in which, after five initial +1 terms, the terms alternate in pairs of +1 and −1 terms) is a permutation of Grandi's series in which each value in the rearranged series corresponds to a value that is at most four positions away from it in the original series; its accumulation points are 3, 4, and 5."
http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s ... Divergence
Nonostante ci sia scritto non riesco a capire che tipo di permutazione faccia per ottenere tale serie, forse fraintendo l'inglese. Dice che ad ogni valore della serie originale ne mette uno lontano almeno 4 posizioni, giusto? Non capisco comunque come ottienga quel numero.
Grazie dell'aiuto
Risposte
Non credo di saperti aiutare, però "at most" significa "al più", non "almeno" che sarebbe "at least".
Modifica: parlo un po' da profano ma mi va di fare un tentativo, credo intenda che la permutazione sia tale che ogni termine è al massimo a quattro posizioni di distanza rispetto a dove stava prima, ad esempio il primo $ -1 $ che dovrebbe stare in seconda posizione ora è alla sesta (posizione originale/tre posizioni/posizione nuova), il secondo $ -1 $ che dovrebbe stare alla quarta posizione è alla settima (posizione originale/due posizioni/posizione nuova), il sesto $ +1 $ che dovrebbe stare in posizione dodici ora è in posizione otto (pozione nuova/tre posizioni/posizione originale), il settimo $ +1 $ che dovrebbe stare in posizione tredici ora è in posizione nove (posizione nuova/tre posizioni/posizione originale), e così via col terzo $ -1 $ ora in posizione dieci, e avanti. In questo modo la classe limite della serie risulta $ 3 $ , $ 4 $ , $ 5 $ , infatti associando i termini in modo opportuno (e quindi costruendo delle sottosuccessioni della serie) queste convergono a tali valori cioè punti di accumulazione dell'insieme dei valori della serie.
Associando i termini a quattro a quattro dopo i primi cinque $ +1 $ ottengo come limite $ 5 $ , associandoli sempre dopo i primi cinque a tre a tre ottengo come limite $ 4 $ , associandoli dopo i primi tre $ +1 $ a quattro a quattro ottengo come limite $ 3 $.
Modifica: parlo un po' da profano ma mi va di fare un tentativo, credo intenda che la permutazione sia tale che ogni termine è al massimo a quattro posizioni di distanza rispetto a dove stava prima, ad esempio il primo $ -1 $ che dovrebbe stare in seconda posizione ora è alla sesta (posizione originale/tre posizioni/posizione nuova), il secondo $ -1 $ che dovrebbe stare alla quarta posizione è alla settima (posizione originale/due posizioni/posizione nuova), il sesto $ +1 $ che dovrebbe stare in posizione dodici ora è in posizione otto (pozione nuova/tre posizioni/posizione originale), il settimo $ +1 $ che dovrebbe stare in posizione tredici ora è in posizione nove (posizione nuova/tre posizioni/posizione originale), e così via col terzo $ -1 $ ora in posizione dieci, e avanti. In questo modo la classe limite della serie risulta $ 3 $ , $ 4 $ , $ 5 $ , infatti associando i termini in modo opportuno (e quindi costruendo delle sottosuccessioni della serie) queste convergono a tali valori cioè punti di accumulazione dell'insieme dei valori della serie.
Associando i termini a quattro a quattro dopo i primi cinque $ +1 $ ottengo come limite $ 5 $ , associandoli sempre dopo i primi cinque a tre a tre ottengo come limite $ 4 $ , associandoli dopo i primi tre $ +1 $ a quattro a quattro ottengo come limite $ 3 $.
Ok traducevo male l'inglese, li spostavo sempre di $4$ o più di $4$. Grazie
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