Serie di funzioni: totale convergenza

[ralf86]

Su un testo di analisi 2 leggo:
"la serie geometrica $\sum_{k=0}^\infty x^k$ converge totalmente in $[-\delta,\delta]$ per ogni $|\delta|<1$, ma non converge totalmente in $(-1,1)$"
Non sono la stessa cosa?

[gugo82]

Ni.

Una serie di funzioni \(\sum f_n\) converge totalmente in un insieme \(X\) se e solo se la serie numerica \(\sum \sup_X |f_n|\) è una serie numerica convergente.
Nel caso \(f_n(x)=x^n\) ed \(X=]-1,1[\) la condizione precedente non è soddisfatta.

Tuttavia, in parecchi testi viene detto che una serie di funzioni \(\sum f_n\) converge totalmente in un aperto \(X\) se essa converge totalmente in ogni compatto \(K\subset X\), i.e. se per ogni compatto la serie numerica \(\sum \sup_K |f_n|\) è convergente.
E questo è il caso della serie geometrica.

Quindi è tutto un problema di definizioni.

[Seneca1]

La tua serie di potenze converge totalmente in $[-delta, delta]$ ($|delta|<1$) se $AA n, EE M_n$ tale che $"sup"_(x in [-delta , delta ] ) | x^n | <= M_n$ e sia $sum_(n=0)^(oo) M_n < +oo$.

Fissato $n$, $|x^n|$ è una funzione continua (polinomiale); per il teo. di Weierstrass questo sarà un massimo.

Sia allora $xi in [-delta , delta]$ il punto in cui $|x|^n$ realizza il massimo nell'intervallo $ [-delta , delta]$ (in particolare sarà $xi = delta$). Allora scrivi:

$max_(x in [-delta , delta ] ) | x |^n = | delta |^n = M_n$.

Inoltre $sum_(n = 0)^(oo) M_n < +oo$ perché $sum_(n = 0)^(oo) |delta|^n$ è una serie geometrica di ragione $|delta| < 1$.

Quindi la serie geometrica è totalmente convergente (e quindi lo è uniformemente) su ogni intervallo $[-delta , delta] subset (-1,1)$.

Ora prova a immaginare perché non sei capace di maggiorare $"sup"_(x in (-1,1)) x^n$ con alcuna $M_n$ tale che $sum M_n < +oo$...

EDIT:

Secondo la mia definizione (quella che ho dato all'inizio del post) la serie geometrica non converge totalmente in $(-1, 1)$ , giusto Gugo?

[ralf86]

Innanzitutto ringrazio entrambi per la tempestività

A scanso di equivoci riporto la definizione del mio libro:
una serie di funzioni $\sum_{n=n_0}^\infty f_n(x)$ con $ x in I sube RR$ si dice totalmente convergente in $I$ se esiste una qualche successione $a_n$ di numeri reali positivi che soddisfi queste due cose:
$|f_n(x)| $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ è convergente

faccio 2 esempi che forse chiariranno il mio dubbio riguardo alla particolare serie di funzioni (è una serie di potenze) $\sum_{n=0}^\infty x^n$:

1) prendiamo $\sum_{n=0}^\infty (0.95)^n$
$|(0.95)^n|=0.95^n<0.96^n AA n$ inoltre $\sum_{n=0}^\infty (0.96)^n$ è convergente, quindi dalla definizione sopra, $\sum_{n=0}^\infty (0.95)^n$ è totalmente convergente
2) Ora i negativi. Prendiamo $\sum_{n=0}^\infty (-0.95)^n$
$|(-0.95)^n|=0.95^n<0.96^n AA n$ inoltre $\sum_{n=0}^\infty (0.96)^n$ è convergente, quindi dalla definizione sopra, $\sum_{n=0}^\infty (-0.95)^n$ è totalmente convergente

Potrei continuare non solo con $0.95$ o $-0.95$ ma con ogni $x in (-1,1)$, perchè $(-1,1)$ è un aperto e quindi per definizione ogni suo elemento ha almeno un intorno (destro + sinistro) che contiene punti tutti appartenente all'insieme stesso, quindi generalizzando un poco

se $x in (-1,1), x>0$ prendo un altro $y$ appartenete all'intorno destro di $x$ ma comunque $<1$, lo posso fare perchè $(-1,1)$ è un aperto, in questo modo $|x|
analogamente se $x in (-1,1), x<0$ prendo un altro $y$ appartenete all'intorno sinistro di $x$ ma comunque $> -1$, lo posso fare perchè $(-1,1)$ è un aperto, in questo modo $|x|<|y|$ e $\sum_{n=0}^\infty y^n$ è convergente perchè $|y|<1$. se confronto con la definizione ho qui $f_n(x)=x^n, a_n=|y|$

Infine, mettendo tutto insieme, siccome riesco a verificare le ipotesi della definizione $AA x in (-1,1)$ allora $\sum_{n=n}^\infty x^n$ è totalmente convergente in tutto $AA x in (-1,1)$ contrariamente a quanto si afferma nel testo!!!
cosa sbaglio?
grazie ancora

[ralf86]

in altri termini, un intervallo $[-\delta,\delta]$ con $|\delta|<1$ non è identico $(-1,1)$ ?

[gugo82]

"ralf86":Innanzitutto ringrazio entrambi per la tempestività

A scanso di equivoci riporto la definizione del mio libro:
una serie di funzioni $\sum_{n=n_0}^\infty f_n(x)$ con $ x in I sube RR$ si dice totalmente convergente in $I$ se esiste una qualche successione $a_n$ di numeri reali positivi che soddisfi queste due cose:
$|f_n(x)| $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ è convergente

Si può facilmente dimostrare che la tua definizione è equivalente alla prima che ho dato nel post precedente.

Dim.: Supponiamo che esista una successione \((a_n)\) con le proprietà richieste dalla tue definizione; allora per ogni \(n\) si ha:
\[
\forall x\in I,\ |f_n(x)| \]
e dunque la serie \(\sum \sup_I |f_n|\) converge perché maggiorata termine a termine da una serie convergente.

Viceversa, supponiamo che la serie \(\sum \sup_I |f_n|\) converga, sicché la serie \(\sum f_n\) converge in \(I\) secondo la mia definizione. Ma allora basta prendere \(a_n=\sup_I |f_n|\) per ottenere una successione con le proprietà richieste dalla tua definizione. \(\square\)

"ralf86":faccio 2 esempi che forse chiariranno il mio dubbio riguardo alla particolare serie di funzioni (è una serie di potenze) $\sum_{n=0}^\infty x^n$:

1) prendiamo $\sum_{n=0}^\infty (0.95)^n$
$|(0.95)^n|=0.95^n<0.96^n AA n$ inoltre $\sum_{n=0}^\infty (0.96)^n$ è convergente, quindi dalla definizione sopra, $\sum_{n=0}^\infty (0.95)^n$ è totalmente convergente
2) Ora i negativi. Prendiamo $\sum_{n=0}^\infty (-0.95)^n$
$|(-0.95)^n|=0.95^n<0.96^n AA n$ inoltre $\sum_{n=0}^\infty (0.96)^n$ è convergente, quindi dalla definizione sopra, $\sum_{n=0}^\infty (-0.95)^n$ è totalmente convergente

Potrei continuare non solo con $0.95$ o $-0.95$ ma con ogni $x in (-1,1)$, perchè $(-1,1)$ è un aperto e quindi per definizione ogni suo elemento ha almeno un intorno (destro + sinistro) che contiene punti tutti appartenente all'insieme stesso, quindi generalizzando un poco

se $x in (-1,1), x>0$ prendo un altro $y$ appartenete all'intorno destro di $x$ ma comunque $<1$, lo posso fare perchè $(-1,1)$ è un aperto, in questo modo $|x|
analogamente se $x in (-1,1), x<0$ prendo un altro $y$ appartenete all'intorno sinistro di $x$ ma comunque $> -1$, lo posso fare perchè $(-1,1)$ è un aperto, in questo modo $|x|<|y|$ e $\sum_{n=0}^\infty y^n$ è convergente perchè $|y|<1$. se confronto con la definizione ho qui $f_n(x)=x^n, a_n=|y|$

Infine, mettendo tutto insieme, siccome riesco a verificare le ipotesi della definizione $AA x in (-1,1)$ allora $\sum_{n=n}^\infty x^n$ è totalmente convergente in tutto $AA x in (-1,1)$ contrariamente a quanto si afferma nel testo!!!
cosa sbaglio?
grazie ancora

Sbagli perché la condizione che richiede la tua definizione deve essere soddisfatta in tutto l'intervallo... Insomma, ogni \(a_n\) deve essere un maggiorante di \(|f_n(x)|\) per \(x\in I\).
Ciò significa che, necessariamente, ha da essere:
\[
a_n\geq \sup_I |f_n(x)| =\sup_{x\in ]-1,1[} |x^n| =\sup_{x\in ]-1,1[} |x|^n =\sup_{x\in [0,1[} x^n =1
\]
e per questo non puoi mai avere convergenza di una serie del tipo \(\sum a_n\).

Cosa diversa se scegli di restringerti ad un sottointervallo del tipo \([-\delta ,\delta]\) con \(0<\delta <1\): infatti in queste ipotesi ti troverai a scegliere ogni \(a_n\) in maniera tale da soddisfare la limitazione:
\[
a_n\geq \sup_{x\in [-\delta ,\delta]} |x|^n = \sup_{x\in [0,\delta]} x^n =\delta^n
\]
ed in modo che \(\sum a_n\) converga: ciò può essere fatto prendendo \(a_n=a_n(\delta):=\delta^n\), poiché la serie geometrica di ragione \(\delta<1\) converge!

Ma, nota bene, che la successione dei maggioranti \(a_n(\delta)=\delta^n\) dipende intrinsecamente dall'ampiezza del sottointervallo in cui hai scelto di lavorare. In particolare, si vede che "allargando" il sottointervallo, si "allargano" anche gli \(a_n(\delta)\).
Ora, il tuo ragionamento è questo: "Evidentemente ho:
\[
]-1,1[=\bigcup_{0<\delta<1} [-\delta ,\delta]
\]
quindi se voglio beccare la convergenza totale in tutto \(]-1,1[\) mi basta verificarla su ogni \([-\delta ,\delta]\)."
Però questo ragionamento non funziona. Infatti per prendere convergenza totale in tutto \(]-1,1[\) dovresti moralmente mandare \(\delta \to 1^-\); ma risulta \(\lim_{\delta \to 1^-} a_n(\delta)=1=a_n(1)\) per ogni \(n\) e la serie \(\sum a_n(1)\) non converge.

"ralf86":in altri termini, un intervallo $[-\delta,\delta]$ con $|\delta|<1$ non è identico $(-1,1)$ ?

Ovviamente no.
In \(]-1,1[\) ci sono infiniti punti in più che in ogni intervallo \([-\delta, \delta]\).

[dissonance]

Mi pare che questa vecchia discussione possa essere una lettura utile:

serie-di-potenze-convergenza-uniforme-sui-compatti-t64595.html

[ralf86]

"gugo82":[quote="ralf86"]

[quote="ralf86"]in altri termini, un intervallo $[-\delta,\delta]$ con $|\delta|<1$ non è identico $(-1,1)$ ?

Ovviamente no.
In \(]-1,1[\) ci sono infiniti punti in più che in ogni intervallo \([-\delta, \delta]\).[/quote][/quote]

Bè a ripensarci hai ragione (errore stupido!), però

un intervallo $[-\delta,\delta]$ $AA |\delta|<1$ è equivalente a $(-1,1)$, giusto?

[ralf86]

grazie gugo
in pratica il mio errore consiste nell'aver male interpretato la definizione: (scusa se ti ripeto in qualche modo ma è per sincerarmi di aver capito) $a_n$ dipende non dal singolo $x$ ma dall'intero intervallo $I$.
problema: $\sum_{n=0}^\infty x^n$ è totalmente convergente $AA x in (-1,1)$?
per avere $a_n>|x| AA x in (-1,1)$ dovrei prendere $a_n>=1$ che però origina una serie $\sum_{n=0}^\infty a_n$ divergente. Morale: non è verificata la seconda condizione della definizione ($\sum_{n=0}^\infty a_n$ convergente), quindi la serie di funzioni di partenza $\sum_{n=0}^\infty x^n$ non è totalmente convergente in $I$
Ora ci sono

[dissonance]

In ogni caso, per favore cambia il titolo. Devi scrivere qualcosa che chiarisca il vero contenuto della discussione. Grazie.

[ralf86]

dissonance, fatto!
Gugo, mi è sfuggente:
se dico
intervallo $[-\delta,\delta]$ per qualche $|\delta|<1$ capisco bene che è diverso $(-1,1)$
ma se dico
intervallo $[-\delta,\delta]$ $AA$ $|\delta|<1$ non comprende anche l'intervallo $(-1,1)$?

[Seneca1]

No... Ma è proprio questo secondo caso che stavamo esaminando.

[ralf86]

no? allora mi è antintuitivo.. è quel $AA delta$ che mi disturba...

[gugo82]

"ralf86":dissonance, fatto!
Gugo, mi è sfuggente:
se dico
intervallo $[-\delta,\delta]$ per qualche $|\delta|<1$ capisco bene che è diverso $(-1,1)$
ma se dico
intervallo $[-\delta,\delta]$ $AA$ $|\delta|<1$ non comprende anche l'intervallo $(-1,1)$?

Scusa, ma secondo te la famiglia \(\{[-\delta ,\delta]\}_{0<\delta<1}\), che è fatta tutta da intervalli chiusi, può mai comprendere un intervallo aperto, quale è \(]-1,1[\)?

Come detto sopra, si ha solo \(]-1,1[=\bigcup_{0<\delta <1} [-\delta ,\delta]\).

[ralf86]

mmm... bè sì, sono tutti chiusi, quindi per forza...
il problema è che visualizzo l'intervallo $[-\delta,\delta]$ $AA$ $|\delta|<1$, come infiniti intervalli che in un certo senso tendono asintoticamente all'aperto $(-1,1)$ per $delta\rightarrow1$. In questo senso lo comprendono

[Seneca1]

E' un modo sbagliato di vedere le cose. Ti farò un esempio che non riguarda le serie di funzioni.

Prendi $f : (0,1] -> RR$ definita da $f(x) = 1/x$.

$f$ è limitata in $[delta , 1]$ , $AA delta in (0,1)$. Questo non vuol dire che $1/x$ è limitata in $(0,1)$.

[gugo82]

"ralf86":il problema è che visualizzo l'intervallo $[-\delta,\delta]$ $AA$ $|\delta|<1$

Il problema è che quello non è un intervallo.

La scrittura \([-\delta ,\delta],\ \forall 0<\delta<1 \) identifica un qualunque fissato intervallo della famiglia \(\{[-\delta ,\delta]\}_{0<\delta <1}\).

Tra l'altro, noto che la condizione \(|\delta|<1\) è sbagliata!
Inoltre, noto anche che il quantificatore universale andrebbe sempre anteposto ad un'espressione contenente la variabile quantificata.