Serie di funzioni fratta

[mimm8]

ciao :hi incontro delle difficoltà nello studio di questa serie di funzione riconducibile a una serie di potenze:

[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{nx^{2}-2nx+1}}{4n^{2}-1}[/math]

in particolare dovrei determinare il raggio di convergenza, verificare se converge puntualmente ed uniformemente e calcolare la somma della serie.

ho iniziato riscrivendo la serie nel seguente modo:

[math]e \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n(x^{2}-2x)}}{4n^{2}-1}[/math]

ponendo

[math]t=e^{x^{2}-2x}[/math]

ottengo

[math]e \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n}}{4n^{2}-1}[/math]

fin qui è corretto?
Un grazie in anticipo. :love

[mc2]

Si tratta di una serie a termini positivi

[math]{\mathcal S}=e\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{n(x^2-2x)}}{4n^2-1}[/math]

Osserviamo che

[math]x^2-2x>0[/math]

se

[math]x2[/math]

e in questo caso si ha

[math]\lim_{n\to\infty}\frac{e^{n(x^2-2x)}}{4n^2-1}>1[/math]

quindi la serie diverge per

[math]x2[/math]

Consideriamo quindi il caso

[math]0\le x\le 2[/math]

, che implica che

[math]e^{n(x^2-2x)}\le 1[/math]

Confrontiamo la serie data con la serie

[math]S'=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}[/math]

che e` convergente.

Se [math]0