Serie di funzioni, esercizio
Ciao,
Ho un problema con un esercizio:
$\sum_{n=1}^infty 1/n^xsin(x^2/n^3)$
mi viene richiesto di trovare l'insieme di convergenza puntuale e uniforme.
Per l'insieme di convergenza puntuale è corretto fare i 3 limiti per $\n \to \infty$ considerando $\x<-3 ; x> -3 ; x=-3$ ?
Infine per la convergenza uniforme ho provato a ragionare con il criterio di Weierstrass senza troppo successo.
Grazie in anticipo.
Ho un problema con un esercizio:
$\sum_{n=1}^infty 1/n^xsin(x^2/n^3)$
mi viene richiesto di trovare l'insieme di convergenza puntuale e uniforme.
Per l'insieme di convergenza puntuale è corretto fare i 3 limiti per $\n \to \infty$ considerando $\x<-3 ; x> -3 ; x=-3$ ?
Infine per la convergenza uniforme ho provato a ragionare con il criterio di Weierstrass senza troppo successo.
Grazie in anticipo.
Risposte
Per quanto riguarda la convergenza puntuale io avrei fatto questo ragionamento:
$lim_(n->+oo)1/n^xsin(x^2/n^3) \sim 1/n^x(x^2/n^3)= x^2/n^(x+3)$
Ora domandati per quale valore di $x$ quella frazione va a zero. In questo modo, tramite la condizione necessaria per la convergenza di una serie, riesci a determinare una prima condizione sulla $x$. Poi applicando qualche criterio (studiato nella teoria delle serie numeriche) riesci ad individuare l'intervallo di convergenza puntuale della serie.
$lim_(n->+oo)1/n^xsin(x^2/n^3) \sim 1/n^x(x^2/n^3)= x^2/n^(x+3)$
Ora domandati per quale valore di $x$ quella frazione va a zero. In questo modo, tramite la condizione necessaria per la convergenza di una serie, riesci a determinare una prima condizione sulla $x$. Poi applicando qualche criterio (studiato nella teoria delle serie numeriche) riesci ad individuare l'intervallo di convergenza puntuale della serie.
Si esatto ho fatto la stessa equivalenza, la convergenza puntuale può esserci se il limite da te scritto vale 0, quindi per ogni $\x> -3$; mentre vale 9 per $\x=-3$ e vale $\infty$ per $\x<-3$.
Quindi poi posso dire che si comporta come $\1/n^(x+3)$ che converge se $\x+3>1$; perciò la serie converge puntualmente per $\x> -2$.
è corretto così?
E per la convergenza uniforme come faresti?
Quindi poi posso dire che si comporta come $\1/n^(x+3)$ che converge se $\x+3>1$; perciò la serie converge puntualmente per $\x> -2$.
è corretto così?
E per la convergenza uniforme come faresti?
io proverei con la convergenza totale cercando di maggiorare la funzione.
Ma la convergenza puntuale è corretta? Perchè da qualche parte trovo scritto che se il valore del limite è finito allora converge puntualmente su tale intervallo, quindi $\x>= -3$
"Lorin":
Per quanto riguarda la convergenza puntuale io avrei fatto questo ragionamento:
$lim_(n->+oo)1/n^xsin(x^2/n^3) \sim 1/n^x(x^2/n^3)= x^2/n^(x+3)$
Ora domandati per quale valore di $x$ quella frazione va a zero. In questo modo, tramite la condizione necessaria per la convergenza di una serie, riesci a determinare una prima condizione sulla $x$. Poi applicando qualche criterio (studiato nella teoria delle serie numeriche) riesci ad individuare l'intervallo di convergenza puntuale della serie.
Lorin ma $sinx \sim x$ per $x->0$, ma vale anche per $x->infty$? Magari è una domanda stupida ma quando vado a risolvere un limite per $x->infty$ con seno e coseno io uso sempre una maggiorante (in questo caso il $lim<= 1/n^x$), mentre per $x->0$ avrei fatto come dici tu...
è corretta l'equivalenza, poichè non deve essere n che tende a zero, bensì l'ergomento del seno che è $\1/n^3$
"pie_z91":
è corretta l'equivalenza, poichè non deve essere n che tende a zero, bensì l'ergomento del seno che è $\1/n^3$
ah quindi per esempio $x->0$ $sin(1/x)$ non posso farlo $\sim 1/x$
attenzione!quell'approssimazione vale solo se l'argomento del seno tende a zero! ma se tende ad infinito le cose cambiano. quanto fa $ lim_(x -> oo ) sen(x) $ ?
quindi state parecchio attenti;in questo caso lo potete fare perchè $ 1/n $ per $ n->oo $ tende a zero e le cose funzionano.
quindi state parecchio attenti;in questo caso lo potete fare perchè $ 1/n $ per $ n->oo $ tende a zero e le cose funzionano.
"LukeTek":
ah quindi per esempio $x->0$ $sin(1/x)$ non posso farlo $\sim 1/x$
Esatto, per favore possiamo tornare alla mia domanda, mi sono scervellato tutta la mattina senza arrivare a molto
"avmarshall":
attenzione!quell'approssimazione vale solo se l'argomento del seno tende a zero! ma se tende ad infinito le cose cambiano. quanto fa $ lim_(x -> oo ) sen(x) $ ?
quindi state parecchio attenti;in questo caso lo potete fare perchè $ 1/n $ per $ n->oo $ tende a zero e le cose funzionano.
Quel "state parecchio attenti" spero non sia riferito a me dato che il confronto asintotico l'ho scritto come la matematica insegna
. Comunque per quanto riguarda la domanda dell'utente:1)Si, mi trovo con la convergenza puntuale, cioè l'intervallo è $I=(-2,+oo)$
2)Per quanto riguarda la convergenza uniforme, anche io proverei prima a studiare la convergenza totale, in quanto dato che nel termine generale è presente la funzione seno allora è più facile maggiorare secondo me, quindi studia un pò:
$sum_(n=1)^(+oo)|1/n^xsin(x^2/n^3)|$
ogni riferimento a persone o cose è puramente casuale. il mio fate attenzione è riferito a chi legge il post e può affrettarsi a trarre conclusioni!tu infatti l'hai scritto giusto, ma l'altro utente chiedeva se valeva anche per infinito, per questo ho scritto attenzione 
Scusate ma ieri non ci sono stato, vi rispondo solo adesso:
1)Quindi i vari criteri studiati (radice, rapporto, confronto ecc...) servono per studiare la convergenza solo puntuale di una serie di funzioni, mentre si usa il criterio di weierstrass per studiarne la uniforme, come hai suggerto te maggiorando la funzione. è corretto?
2)$\|1/n^xsin(x/n^3)|<=1/n^x$ quindi studio l'intervallo di convergenza di $\1/n^x$ che è $\(1;+infty)$. Perciò l'intervallo di convergenza della serie è il medesimo. ti torna?
1)Quindi i vari criteri studiati (radice, rapporto, confronto ecc...) servono per studiare la convergenza solo puntuale di una serie di funzioni, mentre si usa il criterio di weierstrass per studiarne la uniforme, come hai suggerto te maggiorando la funzione. è corretto?
2)$\|1/n^xsin(x/n^3)|<=1/n^x$ quindi studio l'intervallo di convergenza di $\1/n^x$ che è $\(1;+infty)$. Perciò l'intervallo di convergenza della serie è il medesimo. ti torna?
Rispondo alle domande:
1)Si i vari criteri ci aiutano a stabilire solo la convergenza puntuale, per l'uniforme e la totale dobbiamo arrangiarci diversamente.
2)Non mi trovo con quella maggiorazione, infatti mi sa che possiamo dire solo che $|1/n^xsin(x^2/n^3)|<=|1/n^x|(x^2/n^3)$
ora dovresti fare un pò di considerazioni rispetto all'intervallo di convergenza puntuale e vedere se in qualche modo si può dire qualcosa rispetto alla x. Tutto questo perchè quando studiamo la convergenza totale lo scopo è quello di trovare una successione numerica convergente che maggiora quella in valore assoluto per concludere che c'è convergenza totale.
1)Si i vari criteri ci aiutano a stabilire solo la convergenza puntuale, per l'uniforme e la totale dobbiamo arrangiarci diversamente.
2)Non mi trovo con quella maggiorazione, infatti mi sa che possiamo dire solo che $|1/n^xsin(x^2/n^3)|<=|1/n^x|(x^2/n^3)$
ora dovresti fare un pò di considerazioni rispetto all'intervallo di convergenza puntuale e vedere se in qualche modo si può dire qualcosa rispetto alla x. Tutto questo perchè quando studiamo la convergenza totale lo scopo è quello di trovare una successione numerica convergente che maggiora quella in valore assoluto per concludere che c'è convergenza totale.
Grazie della risposta, mi trovo con la tua soluzione, ma non capisco perchè la mia maggiorazione sia sbagliata. Non ho mai capito a fondo il meccanismo della maggiorazione, è sempre stata una cosa molto a intuito per me, a volte ovvia altre volte impossibile. 
A quanto vedo consiste nel trovare la funzione equivalente per $\x->+infty$? è sempre cosi?
Il mio ragionamento è stato quello di dire che $\-1<=sin(x^2/n^3)<=1$ e da qui il mio risultato; perchè non è corretto?
A quanto vedo consiste nel trovare la funzione equivalente per $\x->+infty$? è sempre cosi?
Il mio ragionamento è stato quello di dire che $\-1<=sin(x^2/n^3)<=1$ e da qui il mio risultato; perchè non è corretto?
Guarda anche per me all'inizio risultava difficile capire perchè non potessi maggiorare con 1, e chiudendo alla prof lei mi disse che dato che stiamo studiando quella serie al variare di $x$ (cioè la x non è più fissa come nel caso della convergenza puntuale) in un certo senso ne dobbiamo tener conto, perchè al suo variare varia anche il valore di $sin(x^2/n^3)$. Per questo motivo maggioriamo con il suo argomento che se ci pensi è una cosa sempre vera, infatti se prendi un foglio e disegni la funzione $y=sinx$ essa potrà essere sempre maggiorata con $y=x$, cioè $sinx<=x$ (la sinusoide si trova al di sotto della bisettrice).
P.S.
Chiedo scusa per la poca chiarezza nell'esposizione, ma la tua è una domanda un pochino delicata e per forum è sempre un pochino difficile dare i dettagli di alcune cose.
P.S.
Chiedo scusa per la poca chiarezza nell'esposizione, ma la tua è una domanda un pochino delicata e per forum è sempre un pochino difficile dare i dettagli di alcune cose.
Si, è chiaro, intuitivamente capisco quello che mi vuoi dire. Ma qualunque x consideri il seno è sempre compreso tra 1 e -1. La tua maggiorazione è corretta, ma non è la migliore e quindi non rischio di perdere dei punti dell'insieme di convergenza?
Ho provato a disegnare la funzione nella variabile n con un programma, provando a far variare la x; la mia maggiorazione sembra sempre vera e la migliore possibile.
Se vuoi posto uno screen del grafico.
Cosa sbaglio nel ragionamento?
Ho provato a disegnare la funzione nella variabile n con un programma, provando a far variare la x; la mia maggiorazione sembra sempre vera e la migliore possibile.
Se vuoi posto uno screen del grafico.
Cosa sbaglio nel ragionamento?
Ma come hai scritto te, la successione maggiorante per essere numerica non dovrebbe contenere la variabile x, come è possibile?
Si hai ragione non dovrebbe contenerla, infatti quella è solo una prima maggiorazione, il che non implica che sia quella definitiva. Da quella che ho scritto su, lavorando un pò con x e con l'insieme di convergenza si dovrebbe arrivare a quella definitiva e vedere se si può parlare di convergenza totale.
Per quanto riguarda il tuo post precedente, dato che non riesco a spiegarti bene ciò che voglio dire, ho mandato un mess privato ad un amministratore, che si occupa di analisi nella vita e spero che con il suo intervento i tuoi dubbi si possano chiarire e tutti potremo capirci qualcosina in più ^^
Per quanto riguarda il tuo post precedente, dato che non riesco a spiegarti bene ciò che voglio dire, ho mandato un mess privato ad un amministratore, che si occupa di analisi nella vita e spero che con il suo intervento i tuoi dubbi si possano chiarire e tutti potremo capirci qualcosina in più ^^
Grazie, sei stato gentilissimo, intanto ti espongo ancora un mio ultimo ragionamento:
L'insieme di convergenza uniforme deve essere incluso in quello di convergenza puntuale cioè in questo caso $\(-2;+infty)$. Quindi non è sufficiente vedere che la successione $\1/n^(x_0)$ maggiora la funzione, quindi l'insieme di convergenza uniforme diventa $\[x_0;+infty)sube(-2;+infty)$?
Con questo ho espresso il mio ultimo parere, così è tutto scritto e a disposizione di chi verra a far chiarezza.
Grazie ancora
L'insieme di convergenza uniforme deve essere incluso in quello di convergenza puntuale cioè in questo caso $\(-2;+infty)$. Quindi non è sufficiente vedere che la successione $\1/n^(x_0)$ maggiora la funzione, quindi l'insieme di convergenza uniforme diventa $\[x_0;+infty)sube(-2;+infty)$?
Con questo ho espresso il mio ultimo parere, così è tutto scritto e a disposizione di chi verra a far chiarezza.
Grazie ancora
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