Serie di funzioni e convergenza uniforme
Buona nottata a tutti,
ho un dubbio su questo esercizio:
Si verifichi che la serie di funzioni:
$ sum_(n = 0)^(+oo) x^n(1-x) $
pur non essendo uniformemente convergente in $[0, 1]$, è integrabile termine a termine.
Allora prima di tutto la serie converge puntualmente perché non si tratta altro che di una serie geometrica di ragione $[0, 1]$
Per l'integrabilità avevo pensato che ogni singolo termine rappresenta una funzione continua definita su tutto $RR$ quindi è integrabile.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, e qui sorge il mio dubbio, io devo dimostrare che:
$ lim_(n -> +oo) Sup |S_n(x)-f(x)|=0 $
quindi
$ Sup |(1-x)(1-x^(x+1))/(1-x)-(1-x)1/(1-x)| $
$ Sup |1-x^(n+1)-1| $
adesso facendo la derivata e ponendola uguale a 0 mi risulta x=0, questo cosa significa?? Non capisco, perché se poi faccio il limite per $n->+oo$ esce 0, quindi convergerebbe uniformemente.....
ho un dubbio su questo esercizio:
Si verifichi che la serie di funzioni:
$ sum_(n = 0)^(+oo) x^n(1-x) $
pur non essendo uniformemente convergente in $[0, 1]$, è integrabile termine a termine.
Allora prima di tutto la serie converge puntualmente perché non si tratta altro che di una serie geometrica di ragione $[0, 1]$
Per l'integrabilità avevo pensato che ogni singolo termine rappresenta una funzione continua definita su tutto $RR$ quindi è integrabile.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme, e qui sorge il mio dubbio, io devo dimostrare che:
$ lim_(n -> +oo) Sup |S_n(x)-f(x)|=0 $
quindi
$ Sup |(1-x)(1-x^(x+1))/(1-x)-(1-x)1/(1-x)| $
$ Sup |1-x^(n+1)-1| $
adesso facendo la derivata e ponendola uguale a 0 mi risulta x=0, questo cosa significa?? Non capisco, perché se poi faccio il limite per $n->+oo$ esce 0, quindi convergerebbe uniformemente.....
Risposte
non ti conviene derivare: fissato n, la funzione di cui fare il sup è crescente, il sup risulta 1 e così anche il lim.
Quindi in x=0 ho un punto di minimo? Un'altra cosa perché è sempre crescente? x è compreso tra $[0,1]$
kotek, sto studiano anche io le serie di funzioni! i tuoi post mi stanno aiutando moltissimo =) grande
Ho detto una cavolata, si si la funzione è crescente anche se x appartiene ad $[0,1]$
Ciao ragazzi!
A me sembra che l'inghippo,per la mancata convergenza uniforme,abbia una stretta relazione logica col fatto che si abbia
$S(x)={(1text{ se }0RR$..
Saluti dal web.
A me sembra che l'inghippo,per la mancata convergenza uniforme,abbia una stretta relazione logica col fatto che si abbia
$S(x)={(1text{ se }0
Saluti dal web.
è vero questo, questo è un altro modo di vederlo, non ci avevo pensato! grazie mille theras
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