Serie di funzioni: dubbio sullo svolgimento
Ciao a tutti,
sto affrontando lo studio di questa serie di funzioni:
$ sum_(n = \1) (-1)^n (e^(-x^2/n))/sqrt(n) $
Essendo a segni alternati ho immediatamente verificato se soddisfasse le ipotesi del criterio di convergenza di Leibniz.
1) $ f_n(x) $ non crescente:
Qui ho studiato il segno della derivata rispetto a n del termine generale
$ f_n(x)=(e^(-x^2/n))/sqrt(n) $
e in effetti risulta che la serie di funzioni è decrescente perchè, avendo trovato un massimo per $n=2x^2$ ho che:
$ AA x in R EE upsilon (x)=2x^2 : AA n>upsilon (x) | f_(n+1)(x)<(f_n(x) $
2) $f_n(x)$ infinitesimo
E qui è stato facile dimostrare che
$ lim_(n -> oo) f_n(x)=0 $
Pertanto, essendo soddisfatte entrambe le condizioni, per il criterio di Leibniz la funzione converge puntualmente in tutto $R$.
Fin qui non dovrebbero esserci problemi (giusto?
)
Il vero problema sussiste adesso perchè, dopo aver osservato che non è possibile dimostrare facilmente la totale convergenza (potrei maggiorare il modulo del termine generale con $1/sqrt(n)$ ma, ovviamente, non converge), ho pensato di dimostrare l'uniforme convergenza studiando il resto della serie: $|f_(n+1)-f_n|$
Qui non so come procedere o meglio, vorrei applicare il teorema di Lagrange ma andrebbe applicato considerando la derivata rispetto a n ma mi sembra un ragionamento contorto (per non dire sbagliato) visto che devo dimostrare che tale resto è infinitesimo per $n to oo$ .
Secondo voi quale sarebbe il modo più adatto per proseguire?
Grazie in anticipo!
sto affrontando lo studio di questa serie di funzioni:
$ sum_(n = \1) (-1)^n (e^(-x^2/n))/sqrt(n) $
Essendo a segni alternati ho immediatamente verificato se soddisfasse le ipotesi del criterio di convergenza di Leibniz.
1) $ f_n(x) $ non crescente:
Qui ho studiato il segno della derivata rispetto a n del termine generale
$ f_n(x)=(e^(-x^2/n))/sqrt(n) $
e in effetti risulta che la serie di funzioni è decrescente perchè, avendo trovato un massimo per $n=2x^2$ ho che:
$ AA x in R EE upsilon (x)=2x^2 : AA n>upsilon (x) | f_(n+1)(x)<(f_n(x) $
2) $f_n(x)$ infinitesimo
E qui è stato facile dimostrare che
$ lim_(n -> oo) f_n(x)=0 $
Pertanto, essendo soddisfatte entrambe le condizioni, per il criterio di Leibniz la funzione converge puntualmente in tutto $R$.
Fin qui non dovrebbero esserci problemi (giusto?
)Il vero problema sussiste adesso perchè, dopo aver osservato che non è possibile dimostrare facilmente la totale convergenza (potrei maggiorare il modulo del termine generale con $1/sqrt(n)$ ma, ovviamente, non converge), ho pensato di dimostrare l'uniforme convergenza studiando il resto della serie: $|f_(n+1)-f_n|$
Qui non so come procedere o meglio, vorrei applicare il teorema di Lagrange ma andrebbe applicato considerando la derivata rispetto a n ma mi sembra un ragionamento contorto (per non dire sbagliato) visto che devo dimostrare che tale resto è infinitesimo per $n to oo$ .
Secondo voi quale sarebbe il modo più adatto per proseguire?
Grazie in anticipo!
Risposte
il criterio di Leibniz prevede anche una maggiorazione dell'errore
$|s-s_{n}|<|a_{n+1}|$ dove s e sn sono la somma e le somme parziali di una serie a segni alterni. Per cui qui puoi usare questo fatto dicendo
$ |s_{n}(X)-s(X)|<|f_{n+1}(x)|$. Dove s è la funzione somma e sn le somme parziali. Allora se non ho sbagliato i calcoli calcolando il sup della funzione a destra viene proprio $1/n^(1/2)$ che tende a zero. Per cui anche la quantità a primo membro tende a zero e quindi c'è convergenza uniforme. Spero di non aver scritto cose sbagliate.
$|s-s_{n}|<|a_{n+1}|$ dove s e sn sono la somma e le somme parziali di una serie a segni alterni. Per cui qui puoi usare questo fatto dicendo
$ |s_{n}(X)-s(X)|<|f_{n+1}(x)|$. Dove s è la funzione somma e sn le somme parziali. Allora se non ho sbagliato i calcoli calcolando il sup della funzione a destra viene proprio $1/n^(1/2)$ che tende a zero. Per cui anche la quantità a primo membro tende a zero e quindi c'è convergenza uniforme. Spero di non aver scritto cose sbagliate.
"Reyzet":
il criterio di Leibniz prevede anche una maggiorazione dell'errore
$|s-s_{n}|<|a_{n+1}|$ dove s e sn sono la somma e le somme parziali di una serie a segni alterni. Per cui qui puoi usare questo fatto dicendo
$ |s_{n}(X)-s(X)|<|f_{n+1}(x)|$. Dove s è la funzione somma e sn le somme parziali. Allora se non ho sbagliato i calcoli calcolando il sup della funzione a destra viene proprio $1/n^(1/2)$ che tende a zero. Per cui anche la quantità a primo membro tende a zero e quindi c'è convergenza uniforme. Spero di non aver scritto cose sbagliate.
No in realtà credo tu mi abbia convinto, è molto più lineare come spiegazione. Ti ringrazio!
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