Serie di funzioni di liebniz

dragonspirit1
salve vorrei chiedervi conferma del ragionamento che sto eseguendo per calcolare l'insieme di convergenza e verificare la convergenza uniforme della seguente serie di funzioni: $ sum_0^(+oo) ((-1)^n1/((2n+1)*(2x+1)^(2n))) $
essendo nella forma di liebniz intendo studiare per quali valori di x per i quali converge per l'omonimo criterio:

$ (1/((2n+1)*(2x+1)^(2n))) >0" " AA x $
$ (1/((2n+1)*(2x+1)^(2n))) rightarrow_(nrightarrow oo) 0" " AA x $
ora va verificata la decrescenza dei termini:
posso studiarne la derivata (rispetto a n ) e trovare per quali valori di x è negativa:
$ d/(dn)(1/((2n+1)*(2x+1)^(2n))) = (-2(((2n+1)(log(2x+1))+1)))/((2n+1)^2(2x+1)^(2n)) $
il denominatore è sempre positivo e il numeratore calcolando trovo che risulta negativo per valori di n maggiori di un certo valore in funzione di x.
e qui mi sono un pò arenato...

Risposte
gugo82
"dragonspirit":
$ (1/((2n+1)*(2x+1)^(2n))) rightarrow_(nrightarrow oo) 0" " AA x $

Falso.

dragonspirit1
"gugo82":
[quote="dragonspirit"] $ (1/((2n+1)*(2x+1)^(2n))) rightarrow_(nrightarrow oo) 0" " AA x $

Falso.[/quote]

mi son scordato delle ipotesi : x diverso da 1/2

gugo82
"dragonspirit":
[quote="gugo82"][quote="dragonspirit"] $ (1/((2n+1)*(2x+1)^(2n))) rightarrow_(nrightarrow oo) 0" " AA x $

Falso.[/quote]

mi son scordato delle ipotesi : x diverso da 1/2[/quote]
Beh, è falso comunque... Prendi, ad esempio, \(x=-\frac{1}{3}\).

dragonspirit1
senza applicare giri strani posso dire che è infinitesima per ogni valore di x : |2x+1|>1?

gugo82
Direi...


P.S.: Si scrive Leibniz. :wink:

dragonspirit1
"gugo82":

P.S.: Si scrive Leibniz. :wink:
ha ok:)

quindi abbiamo ristretto ad r meno quei valori li e per la terza ipotesi? introduce altre limitazioni?

gugo82
La puoi valutare anche senza fare derivate.
Infatti, per \(x\) nell'insieme che si diceva prima, si ha \((2x+1)^2>1\), quindi è:
\[
\frac{1}{(2x+1)^{2(n+1)}}< \frac{1}{(2x+1)^{2n}}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{(2n+3) (2x+1)^{2(n+1)}}< \frac{1}{(2n+3)(2x+1)^{2n}} < \frac{1}{(2n+1)(2x+1)^{2n}}\; .
\]
Inoltre, per le stime del resto che si porta dietro il criterio di Leibniz, hai che la somma parziale \(N\)-esima differisce dalla propria somma per una quantità che non supera l'ultimo addendo della somma parziale "senza segno", i.e. che:
\[
\left| s_N (x) - s(x)\right|\leq a_N (x)\; ;
\]
ciò ti potrebbe aiutare per la convergenza uniforme. Altrimenti, studia la convergenza totale.

Inoltre, nota che la tua serie si può ricondurre ad una serie di potenze ponendo \(y=\frac{1}{(2x+1)^2}\). :wink:

dragonspirit1
giusto......il fatto di avere una serie di potenze all'interno di una serie di leibniz come mi aiuta?

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