Serie di funzioni: determinare qual'è il sottoinsieme nel quale converge

[NicoPi22]

Buongiorno, ho un esercizio del quale non riesco a risolvere il primo punto e questo mi blocca lo svolgimento dei successivi, vorrei sapere se qualcuno ha qualche idea su come possa procedere:
data la successione \(\displaystyle fn(x)=arctan(\frac{x}{n}) - ln (1+\frac{x}{n})\), l'esercizio chiede di determinare il sottoinsieme D di \(\displaystyle [0, \infty)\) nella quale la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty fn(x) \) converge.
Ho provato a maggiorare la funzione dimostrando la convergenza Totale che mi implicherebbe le altre, ma non riesco a maggiorarla con una funzione convergente.

[bosmer-votailprof]

Non vorrei sbagliarmi, ma io utilizzerei il fatto che le due funzioni sottratte sono asintotiche ai propri sviluppi di Mac laurin... i quali chiaramente vanno arrestati ad un ordine successivo al primo (altrimenti hai un bello zero) ... quindi arrestando entrambi gli sviluppi al terzo ordine io studierei la serie asintotica
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^2}{2n^2}-2\frac{x^3}{3n^3}
$$
che è la somma (sottrazione) di due serie di potenze entrambe con raggio di convergenza infinito...

Però non vorrei sbagliarmi...

[cooper1]

non capisco cosa c'entri il raggio di convergenza. Non sono serie di potenze (manca il termine $(x-x_0)^n$). potresti per esempio "spezzare" la serie (dopo lo sviluppo di Mac Laurin) in due e verificare che entrambe convergono (confronto con la serie armonica generalizzata).

[bosmer-votailprof]

che fesso, si non sono serie di potenze perché l'indice è fisso, in ogni caso convergono su tutto $R^+$ era questo il mio punto! (terminologia impropria a parte)