Serie di Funzioni: Convergenza Totale

[EnigMat]

Salve a tutti, ancora una volta ho riscontrato un problema durante la risoluzione di un esercizio sulle serie di funzioni.

Questa volta la serie imputata è la seguente: $\sum_{k=1}^infty frac{kln(1+x/k)}{(x+k)^2}$

Ho dimostrato che la serie converge puntualmente per ogni x>-1.

Il problema stavolta è la convergenza totale (Dovrei dimostrare che la convergenza è totale solo per $x>=0$).
Calcolando la derivata prima sono riuscito a trovare (a meno di errori di calcolo) un punto di max relativo per x=k(e^1/2-1) ed ho ottenuto la seguente maggiorazione:

$\sum_{k=1}^infty frac{k ln(1+x/k)}{(x+k)^2} <= \sum_{k=1}^infty frac{1}{2ke}$.

Però questa informazione non mi dice nulla. Forse dovrei seguire un'altra strada? Mi date una mano?

Grazie

[gugo82]

Come non ti dice nulla... La serie dei massimi non converge, quindi la serie non converge totalmente in $]-1,+oo[$.

Ora (se i tuoi conti sono giusti) i punti di massimo $x_k=k(\sqrt("e")-1)$ si accumulano in $+oo$, quindi, comunque fissi un numero $a$, si avrà definitivamente (ossia per ogni $k>nu$) $x_k \notin ]-1,a]$: potresti sruttare questa informazione per determinare il massimo degli addendi in $]-1,a]$ e cercare di dimostrare se c'è convergenza totale o meno in tali intervalli.
Ciò, evidentemente, implicherebbe la convergenza totale sui limitati contenuti in $]-1,+oo[$.

[EnigMat]

Però questa informazione non mi dice nulla

. Scusa mi sono espresso male: intendevo dire che, poiché ci dovrebbe essere convergenza totale solo per $x>=0$, da quella informazione non sono riuscito a ricavarlo :-D.

Ad ogni modo, essendo la funzione crescente in ogni intervallo del tipo $]-1,a]$, avrà sempre $a$ come punto di max e quindi otterrei:

$\sum_{k=1}^infty frac{k ln(1+x/k)}{(x+k)^2} <= \sum_{k=1}^infty frac{k ln(1+a/k)}{(a+k)^2} <= \sum_{k=1}^infty frac{a}{(a+k)^2}$.

Però ancora non mi trovo con il risutlato. Perché c'è convergenza totale solo in $[0,\infty$[?

Grazie per l'attenzione