Serie di Funzioni: Convergenza puntuale e uniforme
Salve ragazzi, avrei bisogno di una mano con un esercizio di esame riguardante le serie di funzione.
Di seguito ne riporto la consegna
Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie di funzione $ sum_(n = \1)(2^(1/n)-1)/sqrt(n)(logx+1)^n $
Di seguito riporto quello che penso di aver capito e alcune domande che vorrei porvi
inizio con il porre $ y=(logx+1) $
in questo modo la serie diventa assimilabile a una serie di potenze del tipo $ sum_(n = \1)(2^(1/n)-1)/sqrt(n)y^n $
Sfruttando il criterio di Cauchy Hadamart ne svolgo il limite $ lim_(x -> oo ) root(n)abs((2^(1/n)-1)/sqrt(n)) $ ottenendo 1.
Ciò significa che il mio raggio di convergenza sarà $ rho =1 $
Verifico quindi la serie agli estremi
Per $ y =1 $ la serie diventa $ sum_(n = \1)(2^(1/n)-1)/sqrt(n)1^n $ e la serie converge. (anche se non ne ho ben chiaro il motivo )
Per $ y =-1 $ la serie diventa $ sum_(n = \1)(2^(1/n)-1)/sqrt(n)(-1)^n $ che per il criterio di Leibnitz converge.
dunque la funzione converge (per Abel) puntualmente in nell'intervallo $-1,1$ e uniformemente in ogni intervallo contenuto?
Purtroppo qui si arresta il mio esercizio poichè avrei differenti dubbi
-una volta determinati gli intervalli come faccio poi a trasformarli dalla variabile y alla x (tornando quindi a monte della sostituzione y=logx+1)?
-la serie si comporta davvero così in y=+1 e y=-1 ?
-una volta appurata la convergenza puntuale come devo comportarmi per trovare quella totale? devo individuare un sup, ma come?
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi nella risoluzione di questo esercizio.
A presto.
Di seguito ne riporto la consegna
Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie di funzione $ sum_(n = \1)(2^(1/n)-1)/sqrt(n)(logx+1)^n $
Di seguito riporto quello che penso di aver capito e alcune domande che vorrei porvi
inizio con il porre $ y=(logx+1) $
in questo modo la serie diventa assimilabile a una serie di potenze del tipo $ sum_(n = \1)(2^(1/n)-1)/sqrt(n)y^n $
Sfruttando il criterio di Cauchy Hadamart ne svolgo il limite $ lim_(x -> oo ) root(n)abs((2^(1/n)-1)/sqrt(n)) $ ottenendo 1.
Ciò significa che il mio raggio di convergenza sarà $ rho =1 $
Verifico quindi la serie agli estremi
Per $ y =1 $ la serie diventa $ sum_(n = \1)(2^(1/n)-1)/sqrt(n)1^n $ e la serie converge. (anche se non ne ho ben chiaro il motivo )
Per $ y =-1 $ la serie diventa $ sum_(n = \1)(2^(1/n)-1)/sqrt(n)(-1)^n $ che per il criterio di Leibnitz converge.
dunque la funzione converge (per Abel) puntualmente in nell'intervallo $-1,1$ e uniformemente in ogni intervallo contenuto?
Purtroppo qui si arresta il mio esercizio poichè avrei differenti dubbi
-una volta determinati gli intervalli come faccio poi a trasformarli dalla variabile y alla x (tornando quindi a monte della sostituzione y=logx+1)?
-la serie si comporta davvero così in y=+1 e y=-1 ?
-una volta appurata la convergenza puntuale come devo comportarmi per trovare quella totale? devo individuare un sup, ma come?
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi nella risoluzione di questo esercizio.
A presto.
Risposte
Ciao, il raggio di convergenza è giusto e per $y=+-1$ entrambe le serie convergono. La serie converge per Abel puntualmente nell'intervallo $[−1,1]$ e uniformemente in ogni intervallo contenuto.
Per $y=1$ usa il criterio del confronto asintotico, ricorda che $2^(1/n)=root(n)(2)$. Per $y=-1$ non puoi usare Leibniz perché non è soddisfatta l'ipotesi di successione non crescente.
Per passare da $x$ a $y$ hai usato $y=logx+1$ quindi tornando indietro $y-1=logx -> x=e^(y-1)$. A questo punto sostituisci $y=+-1$.
Per la convergenza totale non so come aiutarti
Per $y=1$ usa il criterio del confronto asintotico, ricorda che $2^(1/n)=root(n)(2)$. Per $y=-1$ non puoi usare Leibniz perché non è soddisfatta l'ipotesi di successione non crescente.
Per passare da $x$ a $y$ hai usato $y=logx+1$ quindi tornando indietro $y-1=logx -> x=e^(y-1)$. A questo punto sostituisci $y=+-1$.
Per la convergenza totale non so come aiutarti
"matteoorlandini":
Ciao, il raggio di convergenza è giusto e per $y=+-1$ entrambe le serie convergono. La serie converge per Abel puntualmente nell'intervallo $[−1,1]$ e uniformemente in ogni intervallo contenuto.
Per $y=1$ usa il criterio del confronto asintotico, ricorda che $2^(1/n)=root(n)(2)$. Per $y=-1$ non puoi usare Leibniz perché non è soddisfatta l'ipotesi di successione non crescente.
Per passare da $x$ a $y$ hai usato $y=logx+1$ quindi tornando indietro $y-1=logx -> x=e^(y-1)$. A questo punto sostituisci $y=+-1$.
Per la convergenza totale non so come aiutarti
non potendo usare Liebnitz come posso verificarne la convergenza?
per la totale dovrei trovare un sup della funzione e verificare che la somma di quel sup (ovviamente >0) converga, ma francamente non saprei da dove iniziare.
ho trovato su un quaderno che se $rho$ è compreso tra )0,+inf( allora posso considerare una r<$rho$ tale che
la serie converga totalmente in \( (-r,r)\subset )-\rho ,\rho ( \)
ATTENDO CONFERMA
la serie converga totalmente in \( (-r,r)\subset )-\rho ,\rho ( \)
ATTENDO CONFERMA
"marcoianna":
non potendo usare Liebnitz come posso verificarne la convergenza?
Ho ridato un'occhiata alla successione e credo di aver sbagliato io perché $(2^(1/n)-1)/sqrt(n)$ dovrebbe essere non crescente quindi soddisfa le ipotesi del criterio di Leibniz. Per ulteriore conferma prova anche tu che $(2^(1/n)-1)/sqrt(n)>=(2^(1/(n+1))-1)/sqrt(n+1)$
Decisamente decrescente! appurato!
ti ringrazio.
Per quanto riguarda la convergenza totale? confermi?
ti ringrazio.
Per quanto riguarda la convergenza totale? confermi?
Provo a darti una mano ma non ho assolutamente idea se quello che leggerai è giusto
Una serie di funzioni $sum f_n$ converge totalmente in un insieme $I$ se e solo se la serie numerica \(\sum \sup_I |f_n|\) è una serie numerica convergente.
Per studiare la convergenza totale trova l'estremo superiore della funzione $|f_n(y)|=|(2^(1/n)-1)/sqrt(n)y^n|$. Per determinarlo studia la derivata prima rispetto a n della funzione $|f_n(y)|$. Troverai che per un certo valore di $bar(y)$ (secondo quello che ho visto dovrebbe essere $bar(y)=e$) si ha il massimo. L'ultimo passo è studiare la convergenza della serie $sum_(n=1)^(+oo)f_n(bar(y))$.
Una serie di funzioni $sum f_n$ converge totalmente in un insieme $I$ se e solo se la serie numerica \(\sum \sup_I |f_n|\) è una serie numerica convergente.
Per studiare la convergenza totale trova l'estremo superiore della funzione $|f_n(y)|=|(2^(1/n)-1)/sqrt(n)y^n|$. Per determinarlo studia la derivata prima rispetto a n della funzione $|f_n(y)|$. Troverai che per un certo valore di $bar(y)$ (secondo quello che ho visto dovrebbe essere $bar(y)=e$) si ha il massimo. L'ultimo passo è studiare la convergenza della serie $sum_(n=1)^(+oo)f_n(bar(y))$.
"matteoorlandini":
Provo a darti una mano ma non ho assolutamente idea se quello che leggerai è giusto
Una serie di funzioni $sum f_n$ converge totalmente in un insieme $I$ se e solo se la serie numerica \(\sum \sup_I |f_n|\) è una serie numerica convergente.
Per studiare la convergenza totale trova l'estremo superiore della funzione $|f_n(y)|=|(2^(1/n)-1)/sqrt(n)y^n|$. Per determinarlo studia la derivata prima rispetto a n della funzione $|f_n(y)|$. Troverai che per un certo valore di $bar(y)$ (secondo quello che ho visto dovrebbe essere $bar(y)=e$) si ha il massimo. L'ultimo passo è studiare la convergenza della serie $sum_(n=1)^(+oo)f_n(bar(y))$.
potresti mostrarmi come fai la derivata.?
Mi sembra un procedimento più che valido, ma ho il dubbio sulla variabile da derivare!
Ho rivisto un po' di esercizi sulla convergenza totale e puoi affermare che la serie di potenze converge totalmente in ogni chiuso e limitato contenuto nell'intervallo di convergenza.
Capisco che puoi avere difficoltà perché le derivate di funzioni in due variabili si fanno al corso di Analisi 2. Per fare la derivata rispetto a n devi pensare la y come una costante e fare la derivata normale.
Capisco che puoi avere difficoltà perché le derivate di funzioni in due variabili si fanno al corso di Analisi 2. Per fare la derivata rispetto a n devi pensare la y come una costante e fare la derivata normale.
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