Serie di funzioni: Convergenza Puntuale e uniforme
Ciao a tutti sono alle prese con questa serie di funzioni :
$\sum_{n=1}^\infty \(1+x^2) exp(-nx)$
dopo aver stabilito che converge puntualmente per $x>0$ mi trovo a studiare la convergenza uniforme, ma non sono ben sicuro di come l'ho svolto, ho pensato di studiare la conv. totale che implica quella uniforme cercando di vedere quindi se la serie dei sup converge, all'inizio ho pensato di derivare la funzione e trovare il massimo per avere così il sup, ottenendo però un equazione di non immediata risoluzione ho pensato di stimare il sup minore di qualcosa che so che converge su un intervallo del tipo $[a ,+infty[$ (non riuscendo a farlo su $]0,+infty[$) in questo modo :
$Sup$ con$x in [a,+infty[$ di $|(1+x^2) e^(-nx)| < e^(-na)<1/(n^2)$ che so che converge pertanto converge anche $e^(-na)$ e di conseguenza converge anche la serie dei sup, ciò significa che la serie iniziale converge totalmente e quindi uniformemente su tutti gli insiemi del tipo $[a,+infty[$ , è tutto corretto?
grazie in anticipo per eventuali risposte!
$\sum_{n=1}^\infty \(1+x^2) exp(-nx)$
dopo aver stabilito che converge puntualmente per $x>0$ mi trovo a studiare la convergenza uniforme, ma non sono ben sicuro di come l'ho svolto, ho pensato di studiare la conv. totale che implica quella uniforme cercando di vedere quindi se la serie dei sup converge, all'inizio ho pensato di derivare la funzione e trovare il massimo per avere così il sup, ottenendo però un equazione di non immediata risoluzione ho pensato di stimare il sup minore di qualcosa che so che converge su un intervallo del tipo $[a ,+infty[$ (non riuscendo a farlo su $]0,+infty[$) in questo modo :
$Sup$ con$x in [a,+infty[$ di $|(1+x^2) e^(-nx)| < e^(-na)<1/(n^2)$ che so che converge pertanto converge anche $e^(-na)$ e di conseguenza converge anche la serie dei sup, ciò significa che la serie iniziale converge totalmente e quindi uniformemente su tutti gli insiemi del tipo $[a,+infty[$ , è tutto corretto?
grazie in anticipo per eventuali risposte!
Risposte
Conosci le serie di potenze? Le hai già studiate?
si,dici di trasformarla in una serie di potenze con qualche cambio di variabile? però la $n$ a esponente compare solo sulla $e$ che non è una variabile quindi non saprei come farla diventare del tipo $sum a_n z^n$
Memore del fatto che $e^{-nx} = (e^{-x})^n$ prova a porre $t=e^{-x}$. 
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