Serie di funzioni con parametro
convergenza puntuale e uniforme della serie $sum_(n=0)^(+oo) x^a (1+x^2)^-n$ con $ x in [0,+oo) $ e $ a in R^+$
se x=0 la serie è nulla
se x>0 ho applicato il criterio della radice e verificato che converge
quindi converge in $[0,+oo]$ e ha come somma S(x)=$x^(a-2) (1+x^2)$
per la convergenza uniforme (studio la convergenza totale) :
$sum_(n=0)^(+oo)$ sup $x^a/(1+x^2)^n$
ho calcolato $f'_n(x)=(x^(a-1))/((1+x^2)^2n) [a+(a-2n)x^2]$
ora devo distinguere i vari casi a=2n,a>2n e a<2n?
se x=0 la serie è nulla
se x>0 ho applicato il criterio della radice e verificato che converge
quindi converge in $[0,+oo]$ e ha come somma S(x)=$x^(a-2) (1+x^2)$
per la convergenza uniforme (studio la convergenza totale) :
$sum_(n=0)^(+oo)$ sup $x^a/(1+x^2)^n$
ho calcolato $f'_n(x)=(x^(a-1))/((1+x^2)^2n) [a+(a-2n)x^2]$
ora devo distinguere i vari casi a=2n,a>2n e a<2n?
Risposte
se $a<2n$ ho un punto di massimo in $sqrt(a/(2n-a)$.
allora il $ \Sup_([0,+oo]) f_n(x)=f_n(sqrt(a/(2n-a)))=(a/(2n-a))^(a/2) (1-a/(2n))^n$
questa quantità è asintotica a $(a/(2e))^(a/2) 1/n^(a/2)$ termine generale di una serie convergente per $a>2$ ma $a<2n$ e quindi non ho convergenza uniforme in $[0,+oo]$?
allora il $ \Sup_([0,+oo]) f_n(x)=f_n(sqrt(a/(2n-a)))=(a/(2n-a))^(a/2) (1-a/(2n))^n$
questa quantità è asintotica a $(a/(2e))^(a/2) 1/n^(a/2)$ termine generale di una serie convergente per $a>2$ ma $a<2n$ e quindi non ho convergenza uniforme in $[0,+oo]$?
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