Serie di funzioni con parametro

[sine nomine1]

Buongiorno,
so che è tanto chiedere di un esercizio senza fornire un tentativo di risoluzione ma è il primo esercizio che faccio su una serie di funzioni con parametro, potreste spiegarmi come si fa questo così con i successivi faccio da solo? Sarebbe il seguente: studiare la convergenza puntuale e totale della serie di funzioni, al variare del parametro $alpha>0$

$ sum_(k = 1)^oo arctan(x^k)/(1+k^alpha) $

Grazie mille in anticipo a tutti.

[sine nomine1]

edit:
se $ x=0rArr arcatan(x^k)=0 rArr $ converge puntualmente, totalmente
$ x>0 sum_(k = 1)^oo(arctan(x^k))/(1+k^alpha)<=sum_(k = 1)^oopi/2*1/(1+k^alpha) $
se $ alpha=1 rArr sum_(k = 1)^oopi/(2+2k) =+oo $ non converge
se $ alpha>1 rArr sum_(k = 1)^oopi/(2+2k^alpha) <+oo $ converge totalmente $rArr$ converge puntualmente

per la parte con x<0 però non so come fare

[sine nomine1]

Nessuno che può aiutarmi con l'ultima parte?

[pilloeffe]

Ciao sine nomine,

Intanto ci provo, poi magari attendiamo la risposta di qualcuno più bravo di me...
Innanzitutto direi che se $x > 0 $ la serie proposta diverge positivamente per $ 0 \le \alpha \le 1 $, mentre converge come hai scritto per $\alpha > 1 $
Per $ x < 0 $:
- se l'indice $k $ è pari l'argomento del'l'arcotangente è positivo e quindi si può maggiorare come hai già fatto per $x > 0 $;
- se l'indice $k $ è dispari l'argomento dell'arcotangente è negativo, ma ricordando che $arctan(- y) = - arctan(y), \quad y > 0 $...
In definitiva si perviene alla somma algebrica di due serie convergenti per $\alpha > 1 $, per cui sarei portato a concludere che la serie di funzioni proposta per $alpha > 1 $ converge $ \AA x \in \RR $

[otta96]

"pilloeffe":Innanzitutto direi che se $x > 0 $ la serie proposta diverge positivamente per $ 0 \le \alpha \le 1 $

A me sembra debba essere $x>=1$, perché per $0

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[pilloeffe]

Sì, hai ragione: in effetti se $ 0 < x < 1 $ la serie proposta converge anche per $0 \le \alpha \le 1 $
Direi che lo stesso accade anche per $- 1 < x \le 0 $, per cui concluderei che se $|x| < 1 $ la serie proposta converge $\AA \alpha \ge 0 $