Serie di funzioni con logaritmo.

[vivi996]

Buonasera, sto studiando le serie di funzioni e ho un po' di problemi a capire come funzionano.

$\sum_{n=1}^infty (log(1+x^n))/(1+x^(2n))$ con $x>$ $-1$

Mi chiede di determinare l'insieme di convergenza puntuale.

Non so come procedere perché per sapere se una serie converge puntualmente devo studiare il limite della somma. Ora, non ho idea di come trovare la somma dunque potrei utilizzare i criteri per le serie numeriche normali, tipo radice, rapporto etc o devo risolverla in un altro modo? Potrei anche trovare la convergenza totale e se essa fosse verificata implicherebbe quella puntuale, ma non mi darebbe un intervallo di convergenza.

[vivi996]

Ho provato così, ma ho paura di aver scritto troppe stupidate :

$1/n(log(1+x^n)/(1/n+(x^n)^2))$ $=$ (con $n->infty$ ) $1/n(log(1+x^n)/x^(2n))$ $<$ $1/n((1+x^n)/(x^n)^2)$ $=$ $1/n(1/x^(2n)+1/x^n)$ $=$ $1/n((1/x^2)^n+(1/x)^n)$ che è la somma di una serie geometrica

[pilloeffe]

Ciao vivi96,

No, non ci sei...
Comincerei con l'osservare che la serie proposta converge a $0 $ per $x = 0 $ mentre non converge per $x = 1 $.

"vivi96": [...] dunque potrei utilizzare i criteri per le serie numeriche normali, tipo radice, rapporto etc [...]

Certo... Attenzione però che la serie proposta non è sempre a termini positivi (lo è per $x > 0 $, ma non per $- 1 < x < 0 $), per cui se per esempio applichi il criterio del rapporto dovrai usare il valore assoluto:

$\lim_{n \to +\infty} |(a_{n + 1}(x))/(a_n(x))| $

Osserverei poi che $\AA t > - 1 $ si ha $ log(1 + t) <= t $ ove nel caso in esame $t := x^n $.
Quanto al resto puoi dare un'occhiata ad esempio qui.

[vivi996]

Usare il valore assoluto non altera nulla? Troverei, in questo modo, la convergenza assoluta che implica la puntuale? Posso sempre applicare il modulo per trovare una serie positiva?
Provo a rifarlo

[gugo82]

Come già noti da sola, il modulo consente di studiare la convergenza assoluta (che implica quella semplice).

Se non vuoi questa restrizione, puoi osservare che la serie assegnata è a termini non negativi per $x>=0$ ed è a segni alterni per $-1=0$ puoi fare tutte le schifezze che vuoi, mentre per $-1

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[vivi996]

Come fai ad osservare che non è sempre a termini positivi? perchè se pongo la successione maggiore di zero , per il nominatore mi viene $x^n>$ $-1$ cioè $x>(-1)^n$ $uu$ al denominatore $x^(2n)>$ $-1/n$ cioè $x>(-1/n)^(1/2n)$
Quindi $f_n(x)>0$ se $x>$ $(-1/n)^(1/(2n))$


Allora poi posso procedere applicando il modulo per applicare il criterio del rapporto in tutto l'intervallo.

[gugo82]

Per favore, risolvi bene le disequazioni…

Ma qui non servono neanche calcoli; basta un po’ di osservazione e la conoscenza delle proprietà elementari (i.e., quelle che si insegnano alle scuole medie) delle potenze.

[vivi996]

Ok scusa, devo studiare solo il segno di $x^n$ che oscilla tra valori positivi e negativi al variare di $n$ se $-1<$ $x<$ $0$

Applicando il teorema del rapporto mi viene $lim_(n-> infty) 1/x^2|(nlog(1+x^(n+1)))/(log(1+x^n)(n+1))|$ che per n che tende ad infinito, la funzione dentro al modulo va a 1 e quindi il risultato finale mi verrebbe $1/x^2$ . Dopodiche dovrei porlo minore di uno e trovare l'intervallo delle x che mi verificano quella disuguaglianza. Potrebbe avere senso come risultato?

[gugo82]

Scusa, ma questi $1/n$ da dove saltano fuori?

[vivi996]

$1/x^2<1$ se $x>1$ quindi per $x=0$ e $x>1$ converge.
Ora però non posso dire che non converga in $(-1,0)$ ed applicando il criterio di Leibniz, applicando la maggiorazione di $log(1+x^n) $\sum_{n=1}^infty log(1+x^n)/(1+nx^(2n))$ $<$ $=$ $\sum_{n=1}^infty x^n/(1+nx^(2n))$ $=$ $\sum_{n=1}^infty (-1)^nx/(1+nx^(2n))$ e dato che $x/(1+nx^(2n))$ è non crescente e infinitesima posso dire che la serie di partenza converge anche per le x in $(-1,0)$

sbaglio?

[vivi996]

"gugo82":Scusa, ma questi $1/n$ da dove saltano fuori?

Dove l'ho scritto?

[gugo82]

Guarda, se non scrivi correttamente il testo dell’esercizio qui perdiamo solo tempo.

[vivi996]

Il testo dell'esercizio è :

Per $n in ZZ_+$ sia $f_n(x)$ la funzione definita da:

$f_n(x) = log(1+x^n)/(1+nx^(2n))$ $∀x > −1$.

$a)$ Determinare l’insieme Ap di convergenza puntuale della serie $\sum_{n=1}^infty log(1+x^n)/(1+nx^(2n))$
$b)$ Dire se la serie converge totalmente in Ap.
$c)$ Dire se la funzione somma della serie `e continua in Ap.



Nella pagina precedente ho provato a studiare la convergenza per $x<1$ con Leibniz, è corretto?

[gugo82]

"vivi96":Il testo dell'esercizio è :

Per $n in ZZ_+$ sia $f_n(x)$ la funzione definita da:

$f_n(x) = log(1+x^n)/(1+nx^(2n))$ $∀x > −1$.

$a)$ Determinare l’insieme Ap di convergenza puntuale della serie $\sum_{n=1}^infty log(1+x^n)/(1+nx^(2n))$
$b)$ Dire se la serie converge totalmente in Ap.
$c)$ Dire se la funzione somma della serie `e continua in Ap.

Ah, ecco... Perché nel primo post hai scritto:

"vivi96":Buonasera, sto studiando le serie di funzioni e ho un po' di problemi a capire come funzionano.

$\sum_{n=1}^infty (log(1+x^n))/(1+x^(2n))$ con $x > -1$

che è un po' diverso.
Ti ricordo che la prima regola è controllare il testo di ciò che viene postato.

Per il resto, appena ho cinque minuti ci penso.

[vivi996]

Ah ok mi spiace, ti ringrazio, aspetto provando a fare altri esercizi

[gugo82]

Per $x > 1$ la serie converge per ordine di infinitesimo.
Per $x = 1$ la serie diverge.
Per $0 < x < 1$ la serie converge per confronto con la serie geometrica di ragione $x$.
Per $x = 0$ la serie è nulla.
Per $-1 < x < 0$ la serie si riscrive $sum (-1)^n\ (log(1+ |x|^n))/(1 + n |x|^(2n))$, la quale converge assolutamente, perché la sostituzione $y =|x|$ ti riporta ad uno dei casi precedenti.