Serie di Funzioni

[Morris0191]

Ciao ragazzi mi aiutereste nella risoluzione di questo esercizio?
Determinare l'insieme di convergenza, studiare la convergenze uniforme e calcolare la somma della seguente serie di funzioni:

$\sum_{n=0}^(+oo) (-1)^(3n) [3^(n+1)(x^2+1)^(2n+1)]/[(2n+1)!]$

Ho incominciato ponendo $(x^2+1)^(2n+1)=y^(2n+1)$, ho applicato il criterio della radice ed il raggio di convergenza equivale a $(-oo, +oo)$ (perchè il limite equivale a zero), è un risultato che però non mi convince molto, potreste verificare se è corretto? Grazie!

[ciampax]

Conviene porre $(x^2+1)^2=y$ e riscrivere la serie come $(x^2+1)\cdot\sum_{n=0}^\infty (-1)^{3n} {3^{n+1}}/{(2n+1)!} y^n$, in modo che $a_n=(-1)^{3n} {3^{n+1}}/{(2n+1)!}$ e quindi

$|a_{n+1}/{a_n}|=|(-1)^{3n+3} {3^{n+2}}/{(2n+3)!}\cdot (-1)^{3n} {(2n+1)!}/{3^{n+1}}|=|3/{(2n+2)(2n+3)}|\to 0$

per cui la serie converge su $RR$.

[Morris0191]

Grazie!

[Morris0191]

Siccome la traccia mi chiede di calcolare anche la somma della serie, per calcolarla, devo adottare la stessa tecnica di sostituzione?

[ciampax]

Direi di usare questa come sostituzione per la somma: visto che puoi scrivere

$\sum_{n=0}^\infty [(-1)^3]^n\cdot \sqrt{3}\cdot {(\sqrt{3}(x^2+1))^{2n+1}}/{(2n+1)!}=\sqrt{3}\sum_{n=0}^\infty [-1]^n\cdot {(\sqrt{3}(x^2+1))^{2n+1}}/{(2n+1)!}$

ponendo $t=\sqrt{3}(x^2+1)$ si ha...