Serie di funzioni
Mi servirebbe sapere se questo esercizio è svolto bene. Potreste controllarlo? Grazie mille.
Studiare la seguente serie di funzioni
$\sum_{n=1}^oo (n/(n^2-logn))(x-2)^n$ (1)
Come prima ho posto $y=x-2$, quindi ho definito come serie (2) $\sum_{n=1}^oo (n/(n^2-logn))(y)^n$
a) Conv. puntuale
Il raggio di convergenza sarà: $rho= lim_(n->oo)|a_n/a_(n+1)|= lim_(n->oo)|n/(n^2-logn)((n+1)^2-log(n+1))/(n+1)|= lim_(n->oo)(n(n+1)^2-log(n+1))/(n^2(n+1)-logn)= 1$
La (2) convergerà puntualmente per $-1<=y<=1 <=>$ la (1) convergerà per $-1<=x-2<=1 <=> \{(x-2>=-1),(x-2<=1):}$
La (1) convergerà puntualmente per $x in (1;3)$
b) Conv. totale
La (2) convergerà totalmente per $-delta<=y<=delta<=>$ la (1) convergerà per $-delta<=x-2<=delta <=> \{(x-2>=-delta),(x-2<=delta):}$
La (1) convergerà totalmente per $x in [2-delta;2+delta]$
c) Studio estremi
Per $y=-1-> \sum_{n=1}^oo (n/(n^2-logn))(-1)^n$ oscilla
Per $y=1-> \sum_{n=1}^oo (n/(n^2-logn))(1)^n$ converge
Per il teorema di Abel ci sarà convergenza totale nell'intervallo $[alpha;1]$, con $alpha$ variabile.
Studiare la seguente serie di funzioni
$\sum_{n=1}^oo (n/(n^2-logn))(x-2)^n$ (1)
Come prima ho posto $y=x-2$, quindi ho definito come serie (2) $\sum_{n=1}^oo (n/(n^2-logn))(y)^n$
a) Conv. puntuale
Il raggio di convergenza sarà: $rho= lim_(n->oo)|a_n/a_(n+1)|= lim_(n->oo)|n/(n^2-logn)((n+1)^2-log(n+1))/(n+1)|= lim_(n->oo)(n(n+1)^2-log(n+1))/(n^2(n+1)-logn)= 1$
La (2) convergerà puntualmente per $-1<=y<=1 <=>$ la (1) convergerà per $-1<=x-2<=1 <=> \{(x-2>=-1),(x-2<=1):}$
La (1) convergerà puntualmente per $x in (1;3)$
b) Conv. totale
La (2) convergerà totalmente per $-delta<=y<=delta<=>$ la (1) convergerà per $-delta<=x-2<=delta <=> \{(x-2>=-delta),(x-2<=delta):}$
La (1) convergerà totalmente per $x in [2-delta;2+delta]$
c) Studio estremi
Per $y=-1-> \sum_{n=1}^oo (n/(n^2-logn))(-1)^n$ oscilla
Per $y=1-> \sum_{n=1}^oo (n/(n^2-logn))(1)^n$ converge
Per il teorema di Abel ci sarà convergenza totale nell'intervallo $[alpha;1]$, con $alpha$ variabile.
Risposte
up!
possibile che nessuno possa dirmi se l'esercizio è svolto in maniera corretta o meno? 
Ciao,
Punto A... Posso dirti che il teorema riguardante il disco di convergenza di una serie di potenze garantisce la convergenza TOTALE della serie nel disco, non solo puntuale. Il limite invece ha risultato esatto, ma non capisco bene i tuoi passaggi: sembra che ti perdi qualche moltiplicazione, che, seppur ininfluente, va ben onorata.
Punto B... Non trovo il senso a quello che hai scritto; leggi punto A.
Punto C... Tutto sbagliato. Oscilla, sì... ma converge anche, per il teorema di Leibniz. Mentre la seconda NON converge.
Punto A... Posso dirti che il teorema riguardante il disco di convergenza di una serie di potenze garantisce la convergenza TOTALE della serie nel disco, non solo puntuale. Il limite invece ha risultato esatto, ma non capisco bene i tuoi passaggi: sembra che ti perdi qualche moltiplicazione, che, seppur ininfluente, va ben onorata.
Punto B... Non trovo il senso a quello che hai scritto; leggi punto A.
Punto C... Tutto sbagliato. Oscilla, sì... ma converge anche, per il teorema di Leibniz. Mentre la seconda NON converge.
Per quanto riguarda la convergenza puntuale, essa vale sicuramente nell'interno dell'intervallo di convergenza, e non è solo puntuale, ma totale sui compatti contenuti nell'intervallo.
Per maggiori info, potresti consultare questi miei fogli.
Per maggiori info, potresti consultare questi miei fogli.
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