Serie di funzioni

[ing.cane]

Ciao ragazzi,
ho un problema con la definizione di convergenza puntuale, uniforme e con il criterio di Cauchy.
Non riesco a capire il collegamento con il resto n-esimo della serie....
Cioè:

1) conv. puntuale implica $|s_n(x)- s(x)|<\epsilon$ = |serie da K=1+n a infinito di : f_k(x)|<\epsilon
Più o meno è lo stesso per il criterio di Cauchy, e la conv uniforme.....

non riesco a capire questa uguaglianza... perchè?
Inoltre ha applicazioni negli esercizi?

Vi ringrazio tantissiiiiiiiiimo

(ps: scusate se non scritto bene in latex, ma non so bene come funziona... )

[Seneca1]

Potresti essere più chiaro/a?

[gugo82]

Com'è definito il resto \(n\)-esimo della serie?
La questione è tutta lì...

[ing.cane]

si, infatti non mi è mai stato chiaro il concetto di resto....
ho visto su svariati libri, ma fanno sempre dei giri lunghissimi di parole...
potreste aiutarmi a chiarirmi le idee?