Serie di funzioni

[gbspeedy]

f(x)= $ sum_(n = 1)^( oo) (1-n/x sin(x/n))^a $ $ a in R $
per la convergenza puntuale posso dire che il termine generale è asintotico a $ (1/6)^a ((x^2)/(n^2))^a $
e quindi studiare la convergenza di $ (1/6)^a ((x)^(2a)) sum_(n = 1)^( oo) 1/(n)^(2a)$
che avviene per 2a>1?

[Rigel1]

Grosso modo è corretto; solo due osservazioni:
- il termine generale della serie è definito per \(x\neq 0\);
- per ogni \(n\), la funzione \(g_n(x) := 1- \frac{n}{x}\sin\frac{x}{n}\) è pari, per cui è sufficiente studiare la convergenza della serie per \(x > 0\); se non vuoi fare questa osservazione (non strettamente necessaria), devi scrivere \((x^2)^a\) oppure \(|x|^{2a}\), poiché in generale \(x^{2a}\) non è definito per \(x < 0\).

[gbspeedy]

quindi l'insieme di convergenza puntuale è $(-oo,0)uu(0,+oo)$ per a>1/2?
per la convergenza uniforme dovrei studiare sup$_(x>0) | 1-(n/x)sin(x/n)|^a$ sempre al variare di a
ma non so come calcolarlo

[Rigel1]

Magari, sempre considerando le funzioni \(g_n\) di prima, prova a vedere cosa succede per \(x\to 0\) e per \(x\to +\infty\), tanto per cominciare ad avere un'idea.

[gbspeedy]

il $ lim_(x -> 0^+)g_n(x)=0^+ , lim_(x ->+oo)g_n(x)=1^- $
considero gli intervalli $[0,M], M>0$ e ottengo che $\Sup_((0,M]) |1-n/x sin(x/n)|^a=(1-n/M sin(M/x))^a->(M^2/(6n^2)^a)$ termine generale serie convergente per $a>1/2$

ma devo calcolare anche $g'_n(x)$?

[gbspeedy]

è giusto?

[Rigel1]

Il \(\sup\) sarà calcolato su \([0,M]\), immagino, e affinché sia quello ti devi prima garantire che \(f_n\) sia monotona crescente.

[gbspeedy]

per la monotonia ho provato a calcolare la derivata prima e ottengo:
$g'_n(x)=(nsin(x/n)-xcos(n/x))/x^2$

[Rigel1]

Se ci ragioni un po', capisci che ti basta dimostrare che
\[
\frac{1}{t}\, \sin t - \cos t \geq 0\qquad \forall t\in (0,1],
\]
vale a dire
\[
\tan t \geq t\qquad \forall t\in (0,1].
\]

[gbspeedy]

quindi la serie converge uniformemente sugli intervalli $(0,M],M>0$ e per la parità anche in $[-M,0)$?

[Rigel1]

Sì, se \(a > 1/2\).