Serie di funzioni

[gemellina90]

Ciao a tutti.. per caso qualcuno mi potrebbe spiegare come si svolge questa serie?

$ sum (1/(x^n + nx)) $ con $ x in ]0, +oo[ $

So che dovrei proporvi un mio ragionamento, ma purtroppo non so da dove iniziare perchè il professore non l'ha mai spiegata
Spero che mi aiuterete lo stesso..se no scusatemi..

[gemellina90]

non c'è nessuno che mi può aiutare?

[turihomers-votailprof]

hai fiorito? XD

[gemellina90]

si xD purtroppo

[gugo82]

C'è un metodo piuttosto standard per fare queste cose, che è spiegato su quasi tutti i testi (o gli eserciziari) di Analisi II.
Quindi ti chiedo: hai studiato dal libro?

[turihomers-votailprof]

considerando che è la serie dell'ultimo compito e che hai un professore che non spiega le cose non potevo sbagliarmi!!

[gemellina90]

purtroppo il nostro libro (come del resto il professore che l'ha scritto) non aiuta per niente!!

[turihomers-votailprof]

confermo anche io...neanche l ombra di un procedimento per questo tipo di serie

[Rigel1]

Inizia a studiare l'insieme di convergenza puntuale della serie.
Può essere utile distinguere i casi $x\in (0, 1]$ e $x>1$.

[gemellina90]

Allora.. io ho considerato i casi:
Per $x=1$ si ha $sum (1/(n+1))$ che è divergente.

Per $x>1$ confronto la serie data con la serie $ sum (1/x^n) $ (serie geometrica di ragione $|1/x|<1$ che quindi converge)
$ lim_(n -> oo) ((1/(x^n + nx))/(1/x^n)) = lim_(n -> oo) ((x^n)/(x^n+nx))=1$ Quindi la serie data ha lo stesso carattere di $sum (1/x^n) $ e quindi converge.

E' giusto fino a qua?
E poi come dovrei continuare? Mancano altri casi?

[turihomers-votailprof]

manca il caso $ 0

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[turihomers-votailprof]

Per $01 $ quindi diverge)
$ lim_(n -> oo) ((1/(x^n + nx))/(1/x^n)) = lim_(n -> oo) ((x^n)/(x^n+nx))=1$ Quindi la serie data ha lo stesso carattere di $sum (1/x^n) $ e quindi diverge.
dovrebbe essere giusto cosi no??

[Rigel1]

Per $x\in (0,1)$ il termine $x^n$ a denominatore tende a zero; il termine dominante sarà dunque $nx$ (che invece diverge a $+\infty$).

[gemellina90]

mmm.. non ho capito bene!
il procedimento di turihomer nel caso $0

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[Rigel1]

Per $x\in (0,1)$ il termine generale della serie è asintotico a $\frac{1}{nx}$.