Serie di funzioni
Ragazzi non riesco proprio a studiare la convergenza di questa serie di funzioni
$ sum_(n = 1)^(oo) [(1+1/n)^(sqrt(2)) - 1] *x^n $
E' importantissimo. Ho un esame a breve e il professore sta mettendo sempre questa serie nei vari appelli.. Spero che mi aiuterete..
Grazie in anticipo.
$ sum_(n = 1)^(oo) [(1+1/n)^(sqrt(2)) - 1] *x^n $
E' importantissimo. Ho un esame a breve e il professore sta mettendo sempre questa serie nei vari appelli.. Spero che mi aiuterete..
Grazie in anticipo.
Risposte
Ho provato a risolverlo però non so se è giusto, intanto io provo a dirti come mi viene.
Questa è una serie di potenze di centro $0$, quindi puoi cercare il raggio di convergenza con il metodo della radice n-esima
$\lim_{n \to +\infty} ((1+1/(n))^(sqrt(2)) - 1)^(1/n)$
Questo è una forma indeterminata del tipo $0^0$, quindi $\lim_{n \to +\infty} e^(("ln"((1+1/(n))^(sqrt(2)) - 1))/n)=\lim_{n \to +\infty} e^((\sqrt(2) "ln"(1)"ln"(1/n))/("ln(1)"n))=1$
Quindi a me viene un raggio di convergenza $1$, quindi l'intervallo in cui converge è $(-1,1)$ più eventualmente i due estremi
Questa è una serie di potenze di centro $0$, quindi puoi cercare il raggio di convergenza con il metodo della radice n-esima
$\lim_{n \to +\infty} ((1+1/(n))^(sqrt(2)) - 1)^(1/n)$
Questo è una forma indeterminata del tipo $0^0$, quindi $\lim_{n \to +\infty} e^(("ln"((1+1/(n))^(sqrt(2)) - 1))/n)=\lim_{n \to +\infty} e^((\sqrt(2) "ln"(1)"ln"(1/n))/("ln(1)"n))=1$
Quindi a me viene un raggio di convergenza $1$, quindi l'intervallo in cui converge è $(-1,1)$ più eventualmente i due estremi
grazie mille davvero 
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