Serie di funzioni
salve a tutti.mi é stato proposto un esercizio riguardante le serie di funzioni.Mi viene chiesto di studiare la convergenza della seguente serie:
$ sum_(n = 1)^(+oo ) (-1)^n * sin(x/n)/(nx) $
ho abbozzato una soluzione e vorrei,essendo molto insicura,avere un riscontro:
ho identificato la serie come a segni alterni e per studiarne la convergenza sono ricorsa a Liebnitz,secondo il quale,affinchè la serie sia convergente, il limite del termine generico della successione di funzione(positivo per ogni n) deve essere essere nullo. Allora impostando suddetto limite mi esce 0/+oo che dovrebbe dare 0 giusto???se il ragionamento é corretto la serie dovrebbe convergere .
$ sum_(n = 1)^(+oo ) (-1)^n * sin(x/n)/(nx) $
ho abbozzato una soluzione e vorrei,essendo molto insicura,avere un riscontro:
ho identificato la serie come a segni alterni e per studiarne la convergenza sono ricorsa a Liebnitz,secondo il quale,affinchè la serie sia convergente, il limite del termine generico della successione di funzione(positivo per ogni n) deve essere essere nullo. Allora impostando suddetto limite mi esce 0/+oo che dovrebbe dare 0 giusto???se il ragionamento é corretto la serie dovrebbe convergere .
Risposte
a questo punto no! 
Il ragionamento a grandi linee è anche corretto; soprattutto è buona l'idea di usare Leibniz ma dovresti usarlo per bene.
Prima cosa: che succede per $x=0$? Mi sa che dovremmo escludere questa $x$ per la quale il termine generale non è definito.
Poi, se vogliamo usare Leibniz, dobbiamo essere in grado di dire che il segno di $\frac{sin(x/n)}{nx}$ è costante per $x$ fissata e $n$ variabile. E questo chi ce lo garantisce? Non è ovvio, anzi è falso per alcune $x$ (prova con $x=3/2 pi$). Il criterio però funziona lo stesso, perché ...
Prima cosa: che succede per $x=0$? Mi sa che dovremmo escludere questa $x$ per la quale il termine generale non è definito.
Poi, se vogliamo usare Leibniz, dobbiamo essere in grado di dire che il segno di $\frac{sin(x/n)}{nx}$ è costante per $x$ fissata e $n$ variabile. E questo chi ce lo garantisce? Non è ovvio, anzi è falso per alcune $x$ (prova con $x=3/2 pi$). Il criterio però funziona lo stesso, perché ...
Per $x\ne 0$ converge: per $n$ grande $sin(\frac{x}{n})=\frac{x}{n}+o(\frac{1}{n^3})$ segue che se prendi $n_0$ abbastanza grande allora esiste una costante $A$ per cui
$\sum_n (-1)^n\frac{sin(\frac{x}{n})}{nx}=A+\sum_{n>n_0} (-1)^n \frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^4})$
tale serie converge assolutamente quindi converge. Il limite per $x->0$ di $\frac{sin(\frac{x}{n})}{nx}= \frac{1}{n^2}$ quindi hai convergenza anche per $x=0$
$\sum_n (-1)^n\frac{sin(\frac{x}{n})}{nx}=A+\sum_{n>n_0} (-1)^n \frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^4})$
tale serie converge assolutamente quindi converge. Il limite per $x->0$ di $\frac{sin(\frac{x}{n})}{nx}= \frac{1}{n^2}$ quindi hai convergenza anche per $x=0$
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