Serie di funzioni
Ragazzi sto avendo qualche problemino nel determinare il carattere di questa serie: $ sum_(n=1) ^(+ oo) = (-1)^n * ((n^2 -1)/2^n)*(2x)^(n-1) $ (sinceramente non sono ancora molto ferrato nelle serie per questo chiedo il vostro aiuto!!) io ho ragionato così(correggetemi dove sbaglio così vedrò di capire l'errore e non commetterne in futuro!!):
1)nel caso in cui $x>0$ abbiamo una serie a segno alterno; mi studio allora la serie dei valori assoluti e quindi: $ sum_(n=1) ^(+ oo) = |(-1)^n * ((n^2 -1)/2^n)*(2x)^(n-1)| $ o meglio: $ sum_(n=1) ^(+ oo) = ((n^2 -1)/2^n)*|(2x)^(n-1)| $
2) applico il criterio del rapporto ottenendo così: $ sum_(n=1) ^(+ oo) = ((((n+1)^2 -1)/2^(n+1))*(2x)^(n+1-1))/((n^2 -1)/2^n)*(1/(2x)^(n-1)) $ (non sono riuscito a scrivere la formula bene in particolare il $(2x)^(n-1) $ però comunque sapete meglio di me che il criterio del rapporto è $a_(n+1)/a_n$ )
3)facendo delle normalissime semplificazioni algebriche arrivo a dover svolgere il seguente limite: $ lim _n (n+2)/(n-1/n) * 1/2*(|2x|) $
4) quando $|2x|>1 harr x <-1/2 ; x>1/2$ la serie è assolutamente divergente e quindi la serie di partenza diverge
5) quando $|2x|<1 harr -1/2\leqx\leq1/2 $ la serie è assolutamente convergente e quindi la serie di partenza converge
Secondo voi quanto ho fatto è corretto(chiedo il vostro aiuto visto che questa è la prima serie di funzioni che faccio!)??Grazie a tutti.
1)nel caso in cui $x>0$ abbiamo una serie a segno alterno; mi studio allora la serie dei valori assoluti e quindi: $ sum_(n=1) ^(+ oo) = |(-1)^n * ((n^2 -1)/2^n)*(2x)^(n-1)| $ o meglio: $ sum_(n=1) ^(+ oo) = ((n^2 -1)/2^n)*|(2x)^(n-1)| $
2) applico il criterio del rapporto ottenendo così: $ sum_(n=1) ^(+ oo) = ((((n+1)^2 -1)/2^(n+1))*(2x)^(n+1-1))/((n^2 -1)/2^n)*(1/(2x)^(n-1)) $ (non sono riuscito a scrivere la formula bene in particolare il $(2x)^(n-1) $ però comunque sapete meglio di me che il criterio del rapporto è $a_(n+1)/a_n$ )
3)facendo delle normalissime semplificazioni algebriche arrivo a dover svolgere il seguente limite: $ lim _n (n+2)/(n-1/n) * 1/2*(|2x|) $
4) quando $|2x|>1 harr x <-1/2 ; x>1/2$ la serie è assolutamente divergente e quindi la serie di partenza diverge
5) quando $|2x|<1 harr -1/2\leqx\leq1/2 $ la serie è assolutamente convergente e quindi la serie di partenza converge
Secondo voi quanto ho fatto è corretto(chiedo il vostro aiuto visto che questa è la prima serie di funzioni che faccio!)??Grazie a tutti.
Risposte
"Assolutamente divergente" non credo che abbia alcun significato... Serie dei valori assoluti divergente non implica affatto che la serie di partenza diverge!
Ho seguito un pò il tuo ragionamento, e se i calcoli sono esatti allora hai trovato i valori di x per cui la serie converge.
Fossi in te studierei il $lim a_n$ per vedere per quali x $a_n$ è infinitesima. ( E così poter individuare eventuali divergenze )
Ho seguito un pò il tuo ragionamento, e se i calcoli sono esatti allora hai trovato i valori di x per cui la serie converge.
Fossi in te studierei il $lim a_n$ per vedere per quali x $a_n$ è infinitesima. ( E così poter individuare eventuali divergenze )
"pater46":Anche se fa rabbrividire, mi è capitato più volte di sentirlo.
"Assolutamente divergente"
E' un modo un po' sbrigativo per dire che la serie dei valori assoluti diverge.
Di certo sapere che la serie dei valori assoluti diverge non permette di concludere che la serie data diverge.
Però, attenzione: se il lim che si ottiene col criterio del rapporto è maggiore strettamente di 1, questo ci dice che il termine generale non va a zero e quindi la serie data non può di certo convergere (che poi diverga o sia indeterminata non lo sappiamo).
Quindi il fatto che utilizziamo il metodo del rapporto ( o chi per lui ) sulla serie dei valori assoluti ci dà anche informazioni sulla divergenza serie di partenza?
Effettivamente per venire il limite del criterio del rapporto maggiore di 0, abbiamo che $| a_n | non -> 0$... e ragionevolmente nemmeno $a_n $ può tendere a 0, quindi questo discorso torna... Non ci avevo mai pensato, grazie per la precisazione!
Effettivamente per venire il limite del criterio del rapporto maggiore di 0, abbiamo che $| a_n | non -> 0$... e ragionevolmente nemmeno $a_n $ può tendere a 0, quindi questo discorso torna... Non ci avevo mai pensato, grazie per la precisazione!
"pater46":Per meglio dire, sulla non convergenza della serie.
Quindi il fatto che utilizziamo il metodo del rapporto ( o chi per lui ) sulla serie dei valori assoluti ci dà anche informazioni sulla divergenza serie di partenza?
"pater46":"A buon rendere"... Voglio dire, quando mi sono laureato non lo sapevo. L'ho imparato dopo, facendo esercitazioni di Analisi II, mi pare me l'avesse fatto notare un collega.
Non ci avevo mai pensato, grazie per la precisazione!
Ragazzi tornando all'esercizio direi che per i valori di x compresi tra -1/2 e 1/2 la serie converge per valori di x>1/2 la serie diverge.....e fino a qui sembra non ci siano errori(forse!) mi studio allora i casi x=-1/2; x=1/2 ; x<-1/2.
Per x=1/2 io ho fatto i seguenti passaggi(ditemi se sono sbagliati o giusti per favore!!):
Devo studiarmi $sum_(n=1) ^(+ oo) = (-1)^n * ((n^2 -1)/2^n)*(2*1/2)^(n-1) $ e quindi $sum_(n=1) ^(+ oo) = (-1)^n * ((n^2 -1)/2^n) $ mi dovrebbe venire in aiuto il criterio di Leibniz il quale mi dice che in una serie del tipo $(-1)^n * a_n$ se $a_n$ è infinitesimo e non crescente allora converge quindi dovrei studiarmi la non crescenza di $((n^2 -1)/2^n)$ qui dovrebbe intervenire la seconda applicazione del teorema di Lagrange ossia se la derivata prima della funzione è non negativa allora è non crescente!quindi ho fatto la derivata e l'ho posta non negativa cioè:
$ ((2n*2^n)-2^n * (n^2 -1) * log(2))/2^(2*n)leq0 $ i segni del numeratore e del denominatore dovranno quindi essere discordi.Il denominatore sicuramente è positivo $AA n in NN$ stessa cosa il numeratore quindi deduco che la serie per x=1/2 diverga.
X=-1/2
mi ritrovo a dover studiare $sum_(n=1) ^(+ oo) = ((n^2 -1)/2^n) $ e l'unico criterio che mi viene in mente è quello di Cauchy e quindi se $a_n -> 0$ e $a_n$ decrescente allora la serie ha lo stesso carattere di $sum _(n=0) ^(+ oo) = 2^n * a_(2^n)$ il problema è qui!infatti come me la dovrei studiare la serie $sum _(n=0) ^(+ oo) = 2^n* ((2^(2*n) -1)/(2^(2^n)))$ ???Dove sto sbagliando????
Per x=1/2 io ho fatto i seguenti passaggi(ditemi se sono sbagliati o giusti per favore!!):
Devo studiarmi $sum_(n=1) ^(+ oo) = (-1)^n * ((n^2 -1)/2^n)*(2*1/2)^(n-1) $ e quindi $sum_(n=1) ^(+ oo) = (-1)^n * ((n^2 -1)/2^n) $ mi dovrebbe venire in aiuto il criterio di Leibniz il quale mi dice che in una serie del tipo $(-1)^n * a_n$ se $a_n$ è infinitesimo e non crescente allora converge quindi dovrei studiarmi la non crescenza di $((n^2 -1)/2^n)$ qui dovrebbe intervenire la seconda applicazione del teorema di Lagrange ossia se la derivata prima della funzione è non negativa allora è non crescente!quindi ho fatto la derivata e l'ho posta non negativa cioè:
$ ((2n*2^n)-2^n * (n^2 -1) * log(2))/2^(2*n)leq0 $ i segni del numeratore e del denominatore dovranno quindi essere discordi.Il denominatore sicuramente è positivo $AA n in NN$ stessa cosa il numeratore quindi deduco che la serie per x=1/2 diverga.
X=-1/2
mi ritrovo a dover studiare $sum_(n=1) ^(+ oo) = ((n^2 -1)/2^n) $ e l'unico criterio che mi viene in mente è quello di Cauchy e quindi se $a_n -> 0$ e $a_n$ decrescente allora la serie ha lo stesso carattere di $sum _(n=0) ^(+ oo) = 2^n * a_(2^n)$ il problema è qui!infatti come me la dovrei studiare la serie $sum _(n=0) ^(+ oo) = 2^n* ((2^(2*n) -1)/(2^(2^n)))$ ???Dove sto sbagliando????
"soeca":
X=-1/2
mi ritrovo a dover studiare $sum_(n=1) ^(+ oo) = ((n^2 -1)/2^n) $ e l'unico criterio che mi viene in mente è quello di Cauchy e quindi se $a_n -> 0$ e $a_n$ decrescente allora la serie ha lo stesso carattere di $sum _(n=0) ^(+ oo) = 2^n * a_(2^n)$ il problema è qui!infatti come me la dovrei studiare la serie $sum _(n=0) ^(+ oo) = 2^n* ((2^(2*n) -1)/(2^(2^n)))$ ???Dove sto sbagliando????
Cauchy qui? Cauchy lo userei soprattutto in presenza di logaritmi, con gli esponenziali ti ritrovi con cose assurde ( come ora ).
Col criterio della radice? Il limite dovrebbe venire qualcosa tipo $1/2$ fatto ad occhio...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo