Serie di funzioni
Ragazzi,
come si risolve questa serie?????????
Mi potete aiutare per favore!!!
$ sum_(n = 0)^(oo)arctan(x+1)^(2n) $
1.convergenza puntuale
2.convergenza uniforme
3.convergenza uniforme in |x+1|<1/2
Grazie a tutti se mi potete aiutare
come si risolve questa serie?????????
Mi potete aiutare per favore!!!
$ sum_(n = 0)^(oo)arctan(x+1)^(2n) $
1.convergenza puntuale
2.convergenza uniforme
3.convergenza uniforme in |x+1|<1/2
Grazie a tutti se mi potete aiutare
Risposte
@anot84gr: Probabilmente sai già che questo non è il modo corretto di porre delle questioni esercitative all'attenzione del forum; quindi o ti adatti a quanto richiesto qui o il thread sarà bloccato.
Grazie.
Grazie.
Non capisco quale sia il problema visto che non so come fare questo esercizio ho chiesto una mano!!!!Di suggerimenti non ne ho!!!!!
[xdom="gugo82"]Innanzitutto, il problema è che avevi già postato lo stesso esercizio due giorni fa (qui; quel thread sarà chiuso, ovviamente).
Il fatto che nessuno ti abbia risposto non ti autorizza a mettere un altro thread uguale sul foro; anzi, la cosa più corretta da fare sarebbe stata riportare su il vecchio thread con un "up" (visto che sono passati due giorni sarebbe stato lecito "uppare").
Ma sono anche disposto a passare sopra a questa questione...
Il problema vero è che qui non risolviamo esercizi, ma aiutiamo voi a capire come risolverli.
L'intento del forum è didattico e lo spirito è quello di una vera circolazione del sapere; se volessimo solo risolvere esercizi non lo faremmo certo a titolo gratuito.
Per far capire ad un utente come si risolve un esercizio, abbiamo bisogno di sapere dove sono le sue difficoltà; e ti assicuro che l'utente cosciente di avere difficoltà sa anche dire "Ecco, arrivo fin qui e poi mi blocco", perchè prima di postare ha provato (casomai in duemila modi, casomai in uno solo) a risolvere da solo l'esercizio.
Invece, quando un utente risponde "Non lo so fare" non mostra altra difficoltà che non la sua svogliatezza nello studio, la sua pigrizia di pensiero.
Visto che né svogliatezza né pigrizia sono comportamenti da incoraggiare, mal tolleriamo post come il tuo primo su queste pagine; per questo ci sforziamo a richiamarvi (come fatto da me nel post precedente) ad un po' di attività cerebrale prima di postare.
Spero che ti sia chiara la nostra linea e che, finalmente, ci esponi i mezzi che hai a disposizione per risolvere l'esercizio (se stai facendo esercizi di Analisi II avrai fatto Analisi I, quindi qualcosa sulle serie numeriche dovresti conoscerla... Prova a partire da quello!) e le tue difficoltà.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Innanzitutto, il problema è che avevi già postato lo stesso esercizio due giorni fa (qui; quel thread sarà chiuso, ovviamente).
Il fatto che nessuno ti abbia risposto non ti autorizza a mettere un altro thread uguale sul foro; anzi, la cosa più corretta da fare sarebbe stata riportare su il vecchio thread con un "up" (visto che sono passati due giorni sarebbe stato lecito "uppare").
Ma sono anche disposto a passare sopra a questa questione...
Il problema vero è che qui non risolviamo esercizi, ma aiutiamo voi a capire come risolverli.
L'intento del forum è didattico e lo spirito è quello di una vera circolazione del sapere; se volessimo solo risolvere esercizi non lo faremmo certo a titolo gratuito.
Per far capire ad un utente come si risolve un esercizio, abbiamo bisogno di sapere dove sono le sue difficoltà; e ti assicuro che l'utente cosciente di avere difficoltà sa anche dire "Ecco, arrivo fin qui e poi mi blocco", perchè prima di postare ha provato (casomai in duemila modi, casomai in uno solo) a risolvere da solo l'esercizio.
Invece, quando un utente risponde "Non lo so fare" non mostra altra difficoltà che non la sua svogliatezza nello studio, la sua pigrizia di pensiero.
Visto che né svogliatezza né pigrizia sono comportamenti da incoraggiare, mal tolleriamo post come il tuo primo su queste pagine; per questo ci sforziamo a richiamarvi (come fatto da me nel post precedente) ad un po' di attività cerebrale prima di postare.
Spero che ti sia chiara la nostra linea e che, finalmente, ci esponi i mezzi che hai a disposizione per risolvere l'esercizio (se stai facendo esercizi di Analisi II avrai fatto Analisi I, quindi qualcosa sulle serie numeriche dovresti conoscerla... Prova a partire da quello!) e le tue difficoltà.[/xdom]
Beh io avevo pensato solo di fare così
Per vedere la convergenza puntuale:
$ arctan(x+1 )^(2n)<(x+1)^(2n) $
ma non so se la cosa sia giusta!!!E comunque mi viene che converge per (-2,0)
Vi trovate?
Poi per la convergenza uniforme lo stesso ma lo pongo in valore assoluto (convergenza totale) e se mi converge in (-2,0) mi converge anche uniformemente.
Per vedere la convergenza puntuale:
$ arctan(x+1 )^(2n)<(x+1)^(2n) $
ma non so se la cosa sia giusta!!!E comunque mi viene che converge per (-2,0)
Vi trovate?
Poi per la convergenza uniforme lo stesso ma lo pongo in valore assoluto (convergenza totale) e se mi converge in (-2,0) mi converge anche uniformemente.
Finalmente! 
Prima di rispondere, vorrei che mi chiarissi una cosa: in [tex]$\arctan (x+1)^{2n}$[/tex], l'esponente [tex]$2n$[/tex] è riferito all'argomento dell'arcotangente oppure a tutto l'arcotangente?
Insomma, [tex]$\arctan (x+1)^{2n}$[/tex] si deve leggere come [tex]$\left[ \arctan (x+1)\right]^{2n}$[/tex] oppure come [tex]$\arctan \left[ (x+1)^{2n}\right]$[/tex]?
Prima di rispondere, vorrei che mi chiarissi una cosa: in [tex]$\arctan (x+1)^{2n}$[/tex], l'esponente [tex]$2n$[/tex] è riferito all'argomento dell'arcotangente oppure a tutto l'arcotangente?
Insomma, [tex]$\arctan (x+1)^{2n}$[/tex] si deve leggere come [tex]$\left[ \arctan (x+1)\right]^{2n}$[/tex] oppure come [tex]$\arctan \left[ (x+1)^{2n}\right]$[/tex]?
Credo sia riferito all'argomento dell' $ arctan $
Allora ok, il prezzo è giusto!
La maggiorazione funziona (perchè gli argomenti dell'arcotangente sono non negativi) e ti consente di maggiorare la tua serie [tex]$\sum \arctan (x+1)^{2n}$[/tex] con la serie [tex]$\sum (x+1)^{2n}$[/tex].
Quest'ultima è una serie geometrica di ragione [tex]$(x+1)^2$[/tex] e converge per [tex]$(x+1)^2<1$[/tex], ossia per [tex]$-1
Tuttavia questa potrebbe essere solo una risposta parziale alle prime due domande poste dal problema, poiché la maggiorazione non esclude che la tua serie possa convergere fuori da [tex]$]-2,0[$[/tex] (infatti se la serie maggiorante diverge non possodire nulla circa il comportamento della minorante).
Per vedere cosa succede davvero in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] devi andare innanzitutto a verificare per quali [tex]$x$[/tex] è verificata la condizione necessaria alla convergenza: fissato [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex], si ha:
[tex]$\lim_n \arctan (x+1)^{2n} =\begin{cases} 0&\text{, se $(x+1)^2 <1$} \\ \frac{\pi}{4} &\text{, se $(x+1)^2 =1$}\\ \frac{\pi}{2} &\text{, se $(x+1)^2>1$}\end{cases}$[/tex]
[tex]$=\begin{cases} 0&\text{, se $-20$}\end{cases}$[/tex]
ergo la convergenza è assicurata solo per [tex]$]-2,0[$[/tex] (negli altri casi la serie diverge perchè è a termini positivi).
Ne consegue che tutte le considerazioni fatte in precedenza bastano per risolvere l'esercizio nella sua interezza.
La maggiorazione funziona (perchè gli argomenti dell'arcotangente sono non negativi) e ti consente di maggiorare la tua serie [tex]$\sum \arctan (x+1)^{2n}$[/tex] con la serie [tex]$\sum (x+1)^{2n}$[/tex].
Quest'ultima è una serie geometrica di ragione [tex]$(x+1)^2$[/tex] e converge per [tex]$(x+1)^2<1$[/tex], ossia per [tex]$-1
Tuttavia questa potrebbe essere solo una risposta parziale alle prime due domande poste dal problema, poiché la maggiorazione non esclude che la tua serie possa convergere fuori da [tex]$]-2,0[$[/tex] (infatti se la serie maggiorante diverge non possodire nulla circa il comportamento della minorante).
Per vedere cosa succede davvero in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] devi andare innanzitutto a verificare per quali [tex]$x$[/tex] è verificata la condizione necessaria alla convergenza: fissato [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex], si ha:
[tex]$\lim_n \arctan (x+1)^{2n} =\begin{cases} 0&\text{, se $(x+1)^2 <1$} \\ \frac{\pi}{4} &\text{, se $(x+1)^2 =1$}\\ \frac{\pi}{2} &\text{, se $(x+1)^2>1$}\end{cases}$[/tex]
[tex]$=\begin{cases} 0&\text{, se $-2
ergo la convergenza è assicurata solo per [tex]$]-2,0[$[/tex] (negli altri casi la serie diverge perchè è a termini positivi).
Ne consegue che tutte le considerazioni fatte in precedenza bastano per risolvere l'esercizio nella sua interezza.
E quindi anche per $|x+1|<1/2$ mi converge uniformemente!!!!!!
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