Serie di funzioni

[anto84gr-votailprof]

Ciao ragazzi,
ho una serie da mostrarvi

$ sum_(n = 1)^(oo ) (-1)^nx^n $

e devo studiare la convergenza della serie

Io avevo pensato di utilizzare Leibniz perchè è a segni alterni, ma nello svolgimento non risulta così!!!
Cosa ne dite?

[faximusy]

"anto84gr":Ciao ragazzi,
ho una serie da mostrarvi

$ sum_(n = 1)^(oo ) (-1)^nx^n $

e devo studiare la convergenza della serie

Io avevo pensato di utilizzare Leibniz perchè è a segni alterni, ma nello svolgimento non risulta così!!!
Cosa ne dite?

Io dico che non rispetta la condizione necessaria per la convergenza

Cioè $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ , e non è così perchè $\lim_{n \to \infty}x^n$ diverge

[indovina]

Ma $(-1)^n$ non viene preso in considerazione?

[misanino]

"anto84gr":Ciao ragazzi,
ho una serie da mostrarvi

$ sum_(n = 1)^(oo ) (-1)^nx^n $

e devo studiare la convergenza della serie

Io avevo pensato di utilizzare Leibniz perchè è a segni alterni, ma nello svolgimento non risulta così!!!
Cosa ne dite?

Non è vero che non si può applicare Leibniz.
Dipende dal valore di x.
Prova a pensare ad esempio a cosa succede se $0

Cita

Segnala

[anto84gr-votailprof]

Ragazzi scusate ma mi sonodimenticata di dire che $ x in [-1, 1] $ quindi mi verrebbe da fare:


$ lim_(n -> oo ) x^n = 0 $

quindi:

$ x^n < x^(n+1) $

che è vero!!

Quindi la serie converge per $ x in [-1, 1] $

E' giusto?

[misanino]

Se $0 Se invece $-1 Infatti un numero negativo elevato ad una potenza dispari resta negativo, ma se elevato ad una potenza pari diventa positivo!
Perciò non è più vero che in generale $x^n>x^(n-1)$.
Se infatti n è dispari, allora questo è falso

[anto84gr-votailprof]

Quindi dovrebbe convergere per $ x in (0, 1) $ !!!

E allora perchè mi dice che converge assolutamente in (-1, 1)?

E poi come faccio a trovare la somma della serie?

[misanino]

"anto84gr":Quindi dovrebbe convergere per $ x in (0, 1) $ !!!

E allora perchè mi dice che converge assolutamente in (-1, 1)?

E poi come faccio a trovare la somma della serie?

Ma infatti io non ho detto che non converge in (-1,0)!!!
Ho solo detto che col tuo metodo non lo puoi immediatamente dire.
Prova invece a prendere la serie dei moduli e poi ad applicare il tuo metodo...

[anto84gr-votailprof]

Ora che ci ripenso se prendo $ x in (-1,0) $ mi vale sempre $ x^n
Perchè dovrei fare il modulo!!!
Mi torna uguale!!!

[misanino]

"anto84gr":Ora che ci ripenso se prendo $ x in (-1,0) $ mi vale sempre $ x^n
Perchè dovrei fare il modulo!!!
Mi torna uguale!!!

Peccato che per applicare il criterio di Leibniz occorra $ x^n>x^(n+1) $ per n grande!

[indovina]

Scusate se mi intrometto...
Posso vedere questa serie, come una serie geometrica?
Ovvero da una parte $(-1)^n$ serie armonica alternata convergente
e $x^n$ che dato che -1 Quindi la moltiplicazione di due serie convergenti mi da ancora una serie convergente.
(Senza vedere i vostri ragionamenti io l'avrei pensata così)
Non so se sia una corbelleria, se si me ne scuso a priori.

[faximusy]

"clever":Scusate se mi intrometto...
Posso vedere questa serie, come una serie geometrica?
Ovvero da una parte $(-1)^n$ serie armonica alternata convergente
e $x^n$ che dato che -1 Quindi la moltiplicazione di due serie convergenti mi da ancora una serie convergente.
(Senza vedere i vostri ragionamenti io l'avrei pensata così)
Non so se sia una corbelleria, se si me ne scuso a priori.

In questi casi si applica il criterio di Leibniz. Perchè sommi e sottrai di continuo (è questa la caratteristica insomma).
Che poi è una semplice conferma della C.N. (che nel caso di $|x|<1$ è confermata) e che la serie sia decrescente, altrimenti non potrebbe mai convergere.

[misanino]

Comunque se una serie converge assolutamente, cioè se converge la serie dei moduli, allora converge anche non assolutamente.
Se prendi la serie dei moduli hai la serie di $|x^n|$=$|x|^n$
Ora per $-1 Invece per $x=1$ o $x=-1$ la serie non converge

[dissonance]

"clever":Quindi la moltiplicazione di due serie convergenti mi da ancora una serie convergente.

Attenzione, clever, questa non te la fare mai scappare ad un esame perché è un errore piuttosto grave. Che cos'è la "moltiplicazione" di due serie? Forse vuoi dire "la serie avente per termine generale il prodotto dei termini generali di due serie date". Ma allora quanto dici è falsissimo.

[gugo82]

"clever":Ovvero da una parte $(-1)^n$ serie armonica alternata convergente

Beh, anche questa non è bellissima... Più attenzione!

[indovina]

La verità è che studio gli esercizi, mio brutto vizio quello di non studiare la teoria....
$(-1)^n$ è una serie alternata che ha $1$ se pari e $-1$ se dispari.
Va meglio dire così?

[gugo82]

"clever":La verità è che studio gli esercizi, mio brutto vizio quello di non studiare la teoria...

Malissimo; la peggio cosa che tu possa fare... Consiglio vivamente di cambiare abitudini.

"clever":$(-1)^n$ è una serie alternata che ha $1$ se pari e $-1$ se dispari.
Va meglio dire così?

Successione a due valori sarebbe anche meglio.

La serie [tex]$\sum (-1)^n$[/tex], invece, è indeterminata: perchè?

[indovina]

Non posso calcolarmi il limite, non è la funzione mantissa?

[gugo82]

"clever":Non posso calcolarmi il limite, non è la funzione mantissa?

What?

[indovina]

Ok, ignoranza pura.
Non posso calcolarmi il limite perchè una volta è -1, e l'altra 1?

[gugo82]

Ah ecco... Ovvio che non lo puoi calcolare il limite di [tex]$a_n :=(-1)^n$[/tex], giacché non esiste.
E per quanto riguarda la serie [tex]$\sum (-1)^n$[/tex] che mi dici?