Serie di funzioni
ciao a tutti...sono nuovo del forum....intanto vi faccio i complimenti per l'affiatamento e per la buona volontà di molti che danno sempre buoni consigli =)
adesso passiamo alle cose complicate...ragazzi il mio prof di analisi 2 ha l'abitudine di inserire serie di funzioni nei compiti...direte " e quindi? "....e quindi lui e mette ma gli unici esempi che ha fatto in aula sono esempi del tipo x^n, e nx/(1+n^2x^2)....che inoltre ha pure dimostrato con la teoria perdendo anche parecchio tempo...ora dico io all'esame scritto non posso stare li a dimostrare tramite teoria tutto quanto...ho cercato di fare qualcosa io....
1)ovvero so quando c'è la convergenza puntuale(calcolo la funzione limite, e ad esempio se è limitata per tutte le x allora è convergente puntualmente in R, altrimenti solo nell'intervallo di convergenza...o sbaglio?) e così trovo la puntuale....
2)poi per l'assoluta se posso prendo la serie e metto i valori assoluti nei posti giusti dove servono e vedo quando converge la serie in valore assoluto e li c'è convergenza assoluta(è vero che se la fn(x) è >=0 allora assoluta->uniforme?)...
3)per l'uniforme non so dove mettere mani(se si tratta di SUCCESSIONI di funzioni so come procedere, ma per le SERIE non so proprio)....
4)la totale devo dimostrare che la serie dei sup converge no?ma deve essere la serie dei sup a convergere o deve convergere il limite del sup?(quindi se la serie dei sup è 1/n[serie armonica che diverge] è vero che non converge totalmente anche se il limite del sup -> 0? o basta che il limite del sup|fn(x)-f(x)|=0 per essere totale? sto dubbio è uno dei più grossi)
quindi vi chiedo di non darmi delle risposte solo teoriche perchè sarei punto e a capo....mi servirebbe(Sempre nel limite del possibile) avere dei metodi, un procedimento da seguire, non so qualcosa su cui basarmi , così quando ho una serie davanti so come comportarmi, so cosa cercare per prima, quali punti seguire....vi ringrazio in anticipo e in futuro spero di essere utile anche io al forum
e poi un esempio così bene o male potete avere qualcosa di concreto per darmi dei consigli
sommatoria di n da 1 a infinito di : n^(x/2)/2^n...ovvero somma di n elevato a x mezzi tutto fratto 2 elevato a n(così eviatiamo di avere incomprensioni
ecco...converge puntualmente in tutto R(lim di fn(x) ->0).....ma ora perchè converge uniformemente in [0,+infinito[? e invece non converge uniformemente in ]-infinito,0] ??????????
grazie in anticipo....so che chiedo molto, però un aiuto(visto che sul libro non fa esempi degni di tale nome) lo gradirei parecchio =)
ciao a tutti
adesso passiamo alle cose complicate...ragazzi il mio prof di analisi 2 ha l'abitudine di inserire serie di funzioni nei compiti...direte " e quindi? "....e quindi lui e mette ma gli unici esempi che ha fatto in aula sono esempi del tipo x^n, e nx/(1+n^2x^2)....che inoltre ha pure dimostrato con la teoria perdendo anche parecchio tempo...ora dico io all'esame scritto non posso stare li a dimostrare tramite teoria tutto quanto...ho cercato di fare qualcosa io....
1)ovvero so quando c'è la convergenza puntuale(calcolo la funzione limite, e ad esempio se è limitata per tutte le x allora è convergente puntualmente in R, altrimenti solo nell'intervallo di convergenza...o sbaglio?) e così trovo la puntuale....
2)poi per l'assoluta se posso prendo la serie e metto i valori assoluti nei posti giusti dove servono e vedo quando converge la serie in valore assoluto e li c'è convergenza assoluta(è vero che se la fn(x) è >=0 allora assoluta->uniforme?)...
3)per l'uniforme non so dove mettere mani(se si tratta di SUCCESSIONI di funzioni so come procedere, ma per le SERIE non so proprio)....
4)la totale devo dimostrare che la serie dei sup converge no?ma deve essere la serie dei sup a convergere o deve convergere il limite del sup?(quindi se la serie dei sup è 1/n[serie armonica che diverge] è vero che non converge totalmente anche se il limite del sup -> 0? o basta che il limite del sup|fn(x)-f(x)|=0 per essere totale? sto dubbio è uno dei più grossi)
quindi vi chiedo di non darmi delle risposte solo teoriche perchè sarei punto e a capo....mi servirebbe(Sempre nel limite del possibile) avere dei metodi, un procedimento da seguire, non so qualcosa su cui basarmi , così quando ho una serie davanti so come comportarmi, so cosa cercare per prima, quali punti seguire....vi ringrazio in anticipo e in futuro spero di essere utile anche io al forum
e poi un esempio così bene o male potete avere qualcosa di concreto per darmi dei consigli
sommatoria di n da 1 a infinito di : n^(x/2)/2^n...ovvero somma di n elevato a x mezzi tutto fratto 2 elevato a n(così eviatiamo di avere incomprensioni
ecco...converge puntualmente in tutto R(lim di fn(x) ->0).....ma ora perchè converge uniformemente in [0,+infinito[? e invece non converge uniformemente in ]-infinito,0] ??????????
grazie in anticipo....so che chiedo molto, però un aiuto(visto che sul libro non fa esempi degni di tale nome) lo gradirei parecchio =)
ciao a tutti
Risposte
dimenticavo di dire che i risultati di questo esempio sono proprio scritti nel compito...ovvero chiede di dimostrare che i risultati dati da lui siano veri... 
proprio nessuno?
"doctorw":
4)la totale devo dimostrare che la serie dei sup converge no?ma deve essere la serie dei sup a convergere o deve convergere il limite del sup?(quindi se la serie dei sup è 1/n[serie armonica che diverge] è vero che non converge totalmente anche se il limite del sup -> 0? o basta che il limite del sup|fn(x)-f(x)|=0 per essere totale? sto dubbio è uno dei più grossi)
provo a dire la cosa in due parole: se hai una serie $sumf_n(x)$, e sai che esiste una successione di numeri reali positivi $M_n$ tale che $|f_n(x)|<=M_n$ per ogni $x$ (uniformemente rispetto ad $x$), e se $sumM_n$ converge, allora la serie di funzioni converge totalmente e quindi uniformemente. E' chiaro che se chiami $M_n:=sup|f_n(x)|$ hai la "migliore" successione possibile. Infatti se esiste un'altra successione $M'_n$, $|f_n(x)|<=M'_n$, allora per definizione di estremo superiore hai che $M_n<=M'_n$, e dato che queste successioni sono positive, la serie $sumM'_n$ converge se e solo se converge pure $sumM_n$. E di conseguenza, se la serie $sumM_n$ non converge la tua serie di funzioni non converge totalmente. Questo non significa che non ci sia convergenza uniforme, però. Esistono esempi di serie di funzioni convergenti uniformemente ma non totalmente.
"dissonance":
[quote="doctorw"]
4)la totale devo dimostrare che la serie dei sup converge no?ma deve essere la serie dei sup a convergere o deve convergere il limite del sup?(quindi se la serie dei sup è 1/n[serie armonica che diverge] è vero che non converge totalmente anche se il limite del sup -> 0? o basta che il limite del sup|fn(x)-f(x)|=0 per essere totale? sto dubbio è uno dei più grossi)
provo a dire la cosa in due parole: se hai una serie $sumf_n(x)$, e sai che esiste una successione di numeri reali positivi $M_n$ tale che $|f_n(x)|<=M_n$ per ogni $x$ (uniformemente rispetto ad $x$), e se $sumM_n$ converge, allora la serie di funzioni converge totalmente e quindi uniformemente. E' chiaro che se chiami $M_n:=sup|f_n(x)|$ hai la "migliore" successione possibile. Infatti se esiste un'altra successione $M'_n$, $|f_n(x)|<=M'_n$, allora per definizione di estremo superiore hai che $M_n<=M'_n$, e dato che queste successioni sono positive, la serie $sumM'_n$ converge se e solo se converge pure $sumM_n$. E di conseguenza, se la serie $sumM_n$ non converge la tua serie di funzioni non converge totalmente. Questo non significa che non ci sia convergenza uniforme, però. Esistono esempi di serie di funzioni convergenti uniformemente ma non totalmente.[/quote]
grazie per la spiegazione..
quindi cercherò una sere che conosco e so che sia convergente tale che la mia serie sia minore di quella che cerco io......grazie ancora
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