Serie di funzioni

[Gp741]

Salve a tutti! Qualcuno saprebbe dirmi come determinare l'insieme di convergenza uniforme in $I=]0 ,e^3 [ $ della serie di funzioni $sum_{n=1}^{infty} (1/(3^n (n+3)))*(logx)^n$ per cui calcolando l'estremo superiore del temine generale $Sup|1/(3^n (n+3))|= M_n(e^3)=1/(n+3) $ (dove $M_n$ è il termine generale della serie e $e^3$ è un massimo relativo del termine generale per cui si ha che $ (1/(3^n (n+3)))*(logx)^n

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clrscr

14 lug 2008, 18:41

Io ho ragionato nel seguente modo....
Possiamo riscrivere la serie come:
$sum_(n=1)^(+oo)1/(n+3)*((log x)/3)^n$ e condizione necessaria perchè converga è:
$lim_(n->(+oo))1/(n+3)*((log x)/3)^n=0$ che è soddisfatta per $S = x in]e^(-3),e^3[$
Ora per vedere se la serie converge nell'intervallo trovato, si osserva che:
$sum_(n=1)^(+oo) |1/(n+3)*((log x)/3)^n|<= sum_(n=1)^(+oo) |((log x)/3)^n|$ che converge come serie geometrica nrell'inervallo

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gugo82

15 lug 2008, 23:15

"Gp741":Salve a tutti! Qualcuno saprebbe dirmi come determinare l'insieme di convergenza uniforme in $I=]0 ,e^3 [ $ della serie di funzioni $sum_{n=1}^{infty} (1/(3^n (n+3)))*(logx)^n$ per cui calcolando l'estremo superiore del temine generale $Sup|1/(3^n (n+3))|= M_n(e^3)=1/(n+3) $ (dove $M_n$ è il termine generale della serie e $e^3$ è un massimo relativo del termine generale per cui si ha che $ (1/(3^n (n+3)))*(logx)^n
Poni $y=(logx)/3$ e la tua serie si trasforma in una serie di potenze: $\sum 1/(n+3)*y^n$; tale serie ha raggio di convergenza pari ad $1$ (come si verifica facilmente col criterio del rapporto) e perciò essa converge totalmente, uniformemente ed assolutamente in ogni intervallo $]-1,1[$.
Da ciò segue che la serie assegnata converge totalmente, uniformemente ed assolutamente nell'intervallo $J=]a,b[ subseteq I$ tale che $]1/3log a,1/3log b[ subset ]-1,1[$, ossia per ogni $e^(-3)

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[clrscr]

Io ho ragionato nel seguente modo....
Possiamo riscrivere la serie come:
$sum_(n=1)^(+oo)1/(n+3)*((log x)/3)^n$ e condizione necessaria perchè converga è:
$lim_(n->(+oo))1/(n+3)*((log x)/3)^n=0$ che è soddisfatta per $S = x in]e^(-3),e^3[$
Ora per vedere se la serie converge nell'intervallo trovato, si osserva che:
$sum_(n=1)^(+oo) |1/(n+3)*((log x)/3)^n|<= sum_(n=1)^(+oo) |((log x)/3)^n|$ che converge come serie geometrica nrell'inervallo

[gugo82]

"Gp741":Salve a tutti! Qualcuno saprebbe dirmi come determinare l'insieme di convergenza uniforme in $I=]0 ,e^3 [ $ della serie di funzioni $sum_{n=1}^{infty} (1/(3^n (n+3)))*(logx)^n$ per cui calcolando l'estremo superiore del temine generale $Sup|1/(3^n (n+3))|= M_n(e^3)=1/(n+3) $ (dove $M_n$ è il termine generale della serie e $e^3$ è un massimo relativo del termine generale per cui si ha che $ (1/(3^n (n+3)))*(logx)^n
Poni $y=(logx)/3$ e la tua serie si trasforma in una serie di potenze: $\sum 1/(n+3)*y^n$; tale serie ha raggio di convergenza pari ad $1$ (come si verifica facilmente col criterio del rapporto) e perciò essa converge totalmente, uniformemente ed assolutamente in ogni intervallo $]-1,1[$.
Da ciò segue che la serie assegnata converge totalmente, uniformemente ed assolutamente nell'intervallo $J=]a,b[ subseteq I$ tale che $]1/3log a,1/3log b[ subset ]-1,1[$, ossia per ogni $e^(-3)

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