Serie di funzioni

[Chicco_Stat_1]

arisalve a tutti...a breve avrò questo esamino e la smetterò di stressarvi con le serie di funzioni...

ma intanto:

Data la serie di funzioni

$sum_(n=0)^oo n*4^(-n*x)$

a. Stabilire l'insieme A di convergenza semplice
b. Trovare la somma della serie
c. Stabilire se la convergenza risulta uniforme su A

allora..

a. Osservo che si tratta di una serie di potenze del tipo $sum_(n=0)^oo a_n*t^n$ con $a_n={n}$ e $t=4^(-x)$

tramite il criterio della radice trovo il raggio di convergenza e deduco l'insieme di convergenza semplice: $lim_(n->oo) root[n]{n} = 1$

quindi $R=1/1=1$, di conseguenza l'insieme di convergenza semplice sono quelle $x$ tali per cui $|t|=|4^(-x)|<1$, ovvero $x>0$

dunque $A=(0,+oo)$ è l'insieme di convergenza cercato.


b. buio totale... help..


c. ancora non mi ci son messo, mi ha demoralizzato il punto b.

[_Tipper]

Per il punto b), forse può esserti utile ricordare che per se $|x| < 1$ allora

$\sum_{k=0}^{+\infty} k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$

[Chicco_Stat_1]

ricordare? e chi l'aveva mai vista 'sta formula? lol sapevo che mi mancava qualcosa....
grazie caro..

[Chicco_Stat_1]

dunque vediamo un po'

la somma verrebbe

$sum_(n=0)^oo n*(4^-x)^n = (4^(-x))/(1-4^(-x))^2$

mentre per il punto c.

posso dire che la serie converge uniformemente su ogni compatto in A? ovvero su ogni intervallo chiuso e limitato del tipo $[a,b] sub A$ ?

[gugo82]

"Tipper":Per il punto b), forse può esserti utile ricordare che per se $|x| < 1$ allora

$\sum_{k=0}^{+\infty} k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$

"Chicco_Stat_":ricordare? e chi l'aveva mai vista 'sta formula? lol sapevo che mi mancava qualcosa....
grazie caro..

Questa formula esce fuori dalla serie geometrica: ora mostro come, adoperando però la notazione di Chicco_Stat_.

Considerata la serie geometrica $\sum_(n=0)^(+oo)t^n$, per $|t|<1$ risulta:

$("d")/("d"t)(\sum_(n=0)^(+oo)t^n)=\sum_(n=0)^(+oo)n*t^(n-1)$,

ove la derivazione termine a termine è possibile grazie ad un notevole risultato circa le serie di potenze.
La somma della serie $\sum_(n=0)^(+oo)n*t^n$ per $|t|<1$ si calcola come segue:

$\sum_(n=0)^(+oo)n*t^n=t*\sum_(n=0)^(+oo)n*t^(n-1)=t*("d")/("d"t)(\sum_(n=0)^(+oo)t^n)=t*("d")/("d"t)(1/(1-t))=t*1/(1-t)^2$

il che ci riporta al risultato ottenuto magicamente da Tipper e risolve il punto b).

Per quanto riguarda il punto c), che la serie converga uniformemente nei compatti di $]0,+oo[$* è indiscutibilmente giusto, però ci sono anche altri insiemi in cui la convergenza è uniforme. Invero, fissato $M>0$ hai $AAx in [M,+oo[, 4^(-x)le4^(-M)$ e perciò risulta:

$\sum_(n=0)^(+oo)n*[4^(-x)]^nle\sum_(n=0)^(+oo)n*[4^(-M)]^n$

con la serie a secondo membro convergente perchè $0<4^(-M)<1$: ne consegue che la convergenza di $\sum_(n=0)^(+oo)n*[4^(-x)]^n$ è totale e quindi uniforme in $[M,+oo[$.
In generale, con la stessa tecnica che ho usato qui sopra, puoi provare che c'è convergenza totale e quindi uniforme in qualsiasi sottoinsieme $Bsubseteq ]0,+oo[$ che abbia $"inf" B>0$: questo risolve completamente il punto c).




* Per inciso, i compatti di $]0,+oo[$ non sono solo gli intervalli chiusi e limitati tipo $[a,b]$: ad esempio $[1,2]cup{3}$ è compatto ma non è un intervallo!

[Chicco_Stat_1]

ah fantastico!!
e pensare che m'ero messo a calcolare la somma anche col risultato sulla derivazione della serie..senza saperlo ero sulla strada giusta

grazie infinite per la chiarezza!!