Serie di funzioni

[Chicco_Stat_1]

ok lo so sono una pressa, abbiate pazienza ma sto cercando di impararle per bene queste cose

allora, mi è richiesto di calcolare l'integrale definito

$int_0^1 sin(x)/x dx$

con una precisione di due cifre decimali.

osservo che la funzione integranda è continua nell'origine in virtù del limite notevole $lim_(x->0) sin(x)/x = 1$.
Posso sviluppare in serie di Taylor il numeratore come

$sin(x) = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k+1)/((2k+1)!) = x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - x^7/(7!) + ...$

e dico quindi che

$sin(x)/x = 1/x*sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k+1)/((2k+1)!) = (x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - x^7/(7!) + ...)/x = 1 - x^2/(3!) + X^4/(5!) - x^6/(7!) + ... = sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k)/((2k+1)!)$

e dunque

$int_0^1 sin(x)/x dx = int_0^1 sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k*x^(2k)/((2k+1)!) dx$

ora dovrei verificare se questa serie è convergente uniformemente in $[0,1]$ per poter scambiare integrale e sommatoria liberamente (o mi sbaglio?)

come procedo? valuto se è convergente assolutamente ma così so solo che è convergente anche semplicemente..

e per quanto riguarda la precisione decimale? era qualcosa del tipo $S_k - S<=1/100$, con $S_k$ termine generico e $S$ somma della serie, per due decimali e trovare il k per cui lo ottengo?

grazie della pazienza

[codino75]

"Chicco_Stat_":
osservo che la funzione integranda è continua nell'origine

direi che ammette limite, ma non e' continua nell'origine perche' non e' ivi definita.
per il resto, eccede le mie competenze.
p.s.:tra un po' faccio un sunto di quello che ho capito del test di pearson ( grazie ancora per le risposte).
alessandro

[Chicco_Stat_1]

mmmmmm
dunque dovrei inserire anche un limite fuori dall'integrale?
tipo

$lim_(h->0) int_h^1 f(x) dx$

?

figurati per pearson, se hai bisogno ancora chiedi, almeno su quelle cose sono ferrato

[codino75]

"Chicco_Stat_":mmmmmm
dunque dovrei inserire anche un limite fuori dall'integrale?
tipo

$lim_(h->0) int_h^1 f(x) dx$

?

non ci capisco niente di queste cose avanzate...
era solo per far notare che la funzione integranda, per quello che so , non si puo' dire continua in x=0.
cioe' ammette limite, ma non e' definita in x=0, quindi non credo si possa definire continua.
pero' forse questo non inficia le cose che hai scritto dopo.

[Chicco_Stat_1]

qualche anima pia riesce ad indirizzarmi? please ^_^