Serie di funzioni
Salve a tutti, sono alle prese con le serie di funzioni e ho un dubbio.
Per trovare la convergenza puntuale bisogna semplicemente studiare la convergenza della serie?
Grazie per la risposta.
Per trovare la convergenza puntuale bisogna semplicemente studiare la convergenza della serie?
Grazie per la risposta.
Risposte
è una domanda un pò strana sinceramente... per fare un limite devi fare un limite effettivamente..
devi solo stare attenta al tipo di convergenza che studi... visto che ce ne sono parecchie...
devi solo stare attenta al tipo di convergenza che studi... visto che ce ne sono parecchie...
Non mi sono spiegata bene.. non so cosa devo fare per trovare la convergenza puntuale di una serie di funzioni. 
perchè non metti un esercizio preciso, magari abbastanza semplice solo per capire il procedimento?
Che so... l'esempio classico banale è la successione $f_n(x)=x^n$ definita per $x\in[0,\infty)$. Bisogna dividere tre casi:
1) $x\in[0,1)$: al crescere di $n$ si ottengono cose sempre più piccole con una ovvia convergenza a $0$
2)$x=1$, allora $x^n=1,\foralln$ e quindi converge ad $1$
3) $x>1$ non ci può essere convergenza.
Per cui la successione di funzioni converge puntualmente in $[0,1]$ (non uniformemente per un noto th di passaggio al limite) alla funzione $f(x)=0$ se $x\in[0,1)$ e $f(1)=1$.
Per serie di funzioni è la stessa cosa: la successione da considerare è quella delle somme parziali. Ovviamente ci sono dei casi in cui puoi usare quell'armamentario di teoremi di convergenza che solitamente si danno, ma essi in genere permettono lo studio della convergenza uniforme.
P.s. In genere per serie di funzioni è difficile capire a cosa si converge precisamente... un caso semplice è la serie delle $f_n$ di prima, in cui la convergenza è alla funzione $1/(1-x)$ in $x\in[0,1)$.
Che so... l'esempio classico banale è la successione $f_n(x)=x^n$ definita per $x\in[0,\infty)$. Bisogna dividere tre casi:
1) $x\in[0,1)$: al crescere di $n$ si ottengono cose sempre più piccole con una ovvia convergenza a $0$
2)$x=1$, allora $x^n=1,\foralln$ e quindi converge ad $1$
3) $x>1$ non ci può essere convergenza.
Per cui la successione di funzioni converge puntualmente in $[0,1]$ (non uniformemente per un noto th di passaggio al limite) alla funzione $f(x)=0$ se $x\in[0,1)$ e $f(1)=1$.
Per serie di funzioni è la stessa cosa: la successione da considerare è quella delle somme parziali. Ovviamente ci sono dei casi in cui puoi usare quell'armamentario di teoremi di convergenza che solitamente si danno, ma essi in genere permettono lo studio della convergenza uniforme.
P.s. In genere per serie di funzioni è difficile capire a cosa si converge precisamente... un caso semplice è la serie delle $f_n$ di prima, in cui la convergenza è alla funzione $1/(1-x)$ in $x\in[0,1)$.
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