Serie di funzioni
Studiare la serie di funzioni
$ sum_(n =0)\frac{(-1)^n}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1) $
La serie è a termini alterni ed è esprimibile come $ (-1)^ng_n(x) $. $ g_n(x) $ non è definitamente positiva quindi non posso applicare il criterio di Liebniz (giusto?). Sono passato allo studio della serie dei valori assoluti:
$abs(\frac{(-1)^n}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1))=\abs(\frac{1}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1)$
Il termine generale della serie dei valori assoluti converge puntualmente a 0 se e soltanto se
$ \abs(\sqrt(2x)-4)\le1->-1\le\sqrt(2x)-4\le1->9/2\lex\le25/2 $
In tale intervallo, applicando il criterio della radice
$ (\abs(\frac{1}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1)))^(1/n)=\abs(\sqrt(2x)-4)(\frac{\abs(\sqrt(2x)-4)}{n+1})^(1/n)->\abs(\sqrt(2x)-4) $
Affinchè ci sia convergenza, deve essere
$\abs(\sqrt(2x)-4)<1->9/2
Poi sono passato alla convergenza totale valutando
$ SUP\abs(\frac{1}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1) $
$ d/dx(\frac{1}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1))=(\sqrt(2x)-4)^n/\sqrt(2x)>=0\hArr x>=8 $
Ma l'estremo superiore è il valore a cui tende la funzione negli estremi dell'intervallo:
$ lim_(x -> 9/2o5/2)\abs (\frac{1}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1)=1)=1/(n+1) $
che non è una serie convergente. Quindi non c'è convergenza totale nell'intervallo. Dato che non mi è mai capitato di valutare la convergenza uniforme se non implicarla da quella totale, esiste un intervallo contenuto in quello di partenza in cui si ha convergenza totale?
$ sum_(n =0)\frac{(-1)^n}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1) $
La serie è a termini alterni ed è esprimibile come $ (-1)^ng_n(x) $. $ g_n(x) $ non è definitamente positiva quindi non posso applicare il criterio di Liebniz (giusto?). Sono passato allo studio della serie dei valori assoluti:
$abs(\frac{(-1)^n}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1))=\abs(\frac{1}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1)$
Il termine generale della serie dei valori assoluti converge puntualmente a 0 se e soltanto se
$ \abs(\sqrt(2x)-4)\le1->-1\le\sqrt(2x)-4\le1->9/2\lex\le25/2 $
In tale intervallo, applicando il criterio della radice
$ (\abs(\frac{1}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1)))^(1/n)=\abs(\sqrt(2x)-4)(\frac{\abs(\sqrt(2x)-4)}{n+1})^(1/n)->\abs(\sqrt(2x)-4) $
Affinchè ci sia convergenza, deve essere
$\abs(\sqrt(2x)-4)<1->9/2
Poi sono passato alla convergenza totale valutando
$ SUP\abs(\frac{1}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1) $
$ d/dx(\frac{1}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1))=(\sqrt(2x)-4)^n/\sqrt(2x)>=0\hArr x>=8 $
Ma l'estremo superiore è il valore a cui tende la funzione negli estremi dell'intervallo:
$ lim_(x -> 9/2o5/2)\abs (\frac{1}{n+1}(\sqrt(2x)-4)^(n+1)=1)=1/(n+1) $
che non è una serie convergente. Quindi non c'è convergenza totale nell'intervallo. Dato che non mi è mai capitato di valutare la convergenza uniforme se non implicarla da quella totale, esiste un intervallo contenuto in quello di partenza in cui si ha convergenza totale?
Risposte
Sì, va bene; però conviene accorgersi che, ponendo $t:=\sqrt{2x}-4$, la serie è la serie di Taylor del logaritmo
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{t^{n+1}}{n+1}=\log (1+t)$$
Di cui sai tutto, convergenza uniforme compresa.
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{t^{n+1}}{n+1}=\log (1+t)$$
Di cui sai tutto, convergenza uniforme compresa.
Come posso ricavare il carattere della serie da $ log(1+t) $ ?
Non lo ricavi da quello, ma dal fatto che è una serie di Taylor. Avete studiato le serie di potenze? Le serie di Taylor sono serie di potenze, ed un fatto importantissimo delle serie di potenze è che convergono uniformemente in ogni compatto contenuto nell'insieme di convergenza puntuale.
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