Serie di funzioni
Ciao a tutti, devo calcolare dove converge uniformemente questa serie di funzioni
$ sum_(n=1)^(+\infty) (x^(2n))/(2^n n) $
E' a termini positivi e applicando il criterio della radice si vede che convegre puntualmente solo in $(-sqrt2, sqrt2)$.
Essendo però $||(x^(2n))/(2^n n)||_(\infty)=1/n$ la serie non converge totalmente.
A questo punto sono bloccato e non so come fare, usare la definizione non riesco perché non so la somma della serie. Qualche aiuto?
$ sum_(n=1)^(+\infty) (x^(2n))/(2^n n) $
E' a termini positivi e applicando il criterio della radice si vede che convegre puntualmente solo in $(-sqrt2, sqrt2)$.
Essendo però $||(x^(2n))/(2^n n)||_(\infty)=1/n$ la serie non converge totalmente.
A questo punto sono bloccato e non so come fare, usare la definizione non riesco perché non so la somma della serie. Qualche aiuto?
Risposte
Fatto salvo il fatto che dalla teoria elementare sai già che ogni serie di potenze converge totalmente (e quindi anche uniformemente) su ogni compatto contenuto all’interno dell’intervallo di convergenza, negli altri casi viene comodo usare un teorema di Abel già citato diverse volte in questo forum (vedi qui).
Ciao LoreT314,
In realtà poi non mi pare un grosso problema trovare la somma della serie proposta, infatti si ha:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (x^(2n))/(2^n n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (x^2/2)^n/n = - ln(1 - x^2/2) $
per $|x| < \sqrt2 $
"LoreT314":
[...] non so la somma della serie.
In realtà poi non mi pare un grosso problema trovare la somma della serie proposta, infatti si ha:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (x^(2n))/(2^n n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (x^2/2)^n/n = - ln(1 - x^2/2) $
per $|x| < \sqrt2 $
Ma pur conoscendo la somma, la convergenza uniforme non la si studia facilmente... Forse viene utile qualche stima per le serie a segni alterni, ma comunque ci si deve lavorare.
Il teorema di Abel, invece, è più pret-à-porter.
Il teorema di Abel, invece, è più pret-à-porter.
Ok quindi converge totalmente in ogni compatto contenuto... questo però non implica che converge totalmente in $(-sqrt 2, sqrt 2)$ giusto? Perché come dicevo la serie delle norme diverge. Poi in $+- sqrt 2$ la serie diverge, quindi il teorema di Abel non si applica.
L'unica cosa che mi rimane allora è che converge uniformemente in ogni compatto contenuto... ma questo implica che converge uniformemente anche in $(-sqrt 2,sqrt 2)$?
L'unica cosa che mi rimane allora è che converge uniformemente in ogni compatto contenuto... ma questo implica che converge uniformemente anche in $(-sqrt 2,sqrt 2)$?
"LoreT314":
ma questo implica che converge uniformemente anche in $(-sqrt 2,sqrt 2)$?
Mi è venuto in mente che questo non è vero in generale, ad esempio con la serie geometrica
No.
Converge uniformemente sui compatti e basta.
Converge uniformemente sui compatti e basta.
Come potrei dimostrarlo?
Io ho provato così
Sia $s(x)$ la somma della serie
So che $s(x)>=\sum_(n=1)^(+infty) (x^2/2)^n (1/a)^n$ per $a>1$.
$\sum_(n=1)^(+infty) (x^2/2)^n (1/a)^n=\sum_(n=1)^(+infty) (x^2/(2a))^n=1/(1-(x^2/(2a)))=(2a)/(2a-x^2)>=2/(2-x^2)$
Siccome $lim_(x->sqrt 2^-) 2/(2-x^2)=+\infty$ ho che $lim_(x->sqrt 2) s(x)=+\infty$
Cioè $\forall R, \exists \delta>0$ t.c. $\forall x \in (sqrt2-\delta, sqrt2), s(x)>R$.
Tuttavia $\forall n \in NN, \sum_(k=1)^(n) (x^2/2)^k 1/k$ è limitata, cioè $\forall n \in NN, \exists M_n \in RR$ t.c $\sum_(k=1)^(n) (x^2/2)^k 1/k\infty) M_n=+\infty$ e possiamo prendere $M_n>1, \forall n$.
Scelgo $n\in NN$ arbitraria. Sia $R=2M_n$. Allora $\exists \delta>0$ t.c. $\forall x \in (sqrt2-\delta, sqrt2), s(x)>2M_n$.
Di conseguenza $|s(x)-\sum_(k=1)^(n) (x^2/2)^k 1/k|=s(x)-\sum_(k=1)^(n) (x^2/2)^k 1/k>2M_n-M_n=M_n$
Ricapitolando $\exists \epsilon=1$ t.c. $\forall n, \exists \delta>0$ t.c. $\forall x \in (sqrt2-\delta, sqrt2),|s(x)-s_n(x)|>M_n>\epsilon$
Questo metodo mi sembra però un po contorto, anche se potenzialmente può essere applicato ogni volta che la somma della serie diverge nel bordo del disco di convergenza mentre le somme parziali non lo fanno.
Sia $s(x)$ la somma della serie
So che $s(x)>=\sum_(n=1)^(+infty) (x^2/2)^n (1/a)^n$ per $a>1$.
$\sum_(n=1)^(+infty) (x^2/2)^n (1/a)^n=\sum_(n=1)^(+infty) (x^2/(2a))^n=1/(1-(x^2/(2a)))=(2a)/(2a-x^2)>=2/(2-x^2)$
Siccome $lim_(x->sqrt 2^-) 2/(2-x^2)=+\infty$ ho che $lim_(x->sqrt 2) s(x)=+\infty$
Cioè $\forall R, \exists \delta>0$ t.c. $\forall x \in (sqrt2-\delta, sqrt2), s(x)>R$.
Tuttavia $\forall n \in NN, \sum_(k=1)^(n) (x^2/2)^k 1/k$ è limitata, cioè $\forall n \in NN, \exists M_n \in RR$ t.c $\sum_(k=1)^(n) (x^2/2)^k 1/k
Scelgo $n\in NN$ arbitraria. Sia $R=2M_n$. Allora $\exists \delta>0$ t.c. $\forall x \in (sqrt2-\delta, sqrt2), s(x)>2M_n$.
Di conseguenza $|s(x)-\sum_(k=1)^(n) (x^2/2)^k 1/k|=s(x)-\sum_(k=1)^(n) (x^2/2)^k 1/k>2M_n-M_n=M_n$
Ricapitolando $\exists \epsilon=1$ t.c. $\forall n, \exists \delta>0$ t.c. $\forall x \in (sqrt2-\delta, sqrt2),|s(x)-s_n(x)|>M_n>\epsilon$
Questo metodo mi sembra però un po contorto, anche se potenzialmente può essere applicato ogni volta che la somma della serie diverge nel bordo del disco di convergenza mentre le somme parziali non lo fanno.
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